פתיחת התפריט הראשי

בתורת החוגים, חוג פרימיטיבי למחצה (semi primitive ring) הוא חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו שווה לאפס. חוגים אלו מכלילים את החוגים הפרימיטיביים - ואכן, כל חוג פרימיטיבי למחצה סוף ממדי הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים. במקרה הארטיני, תכונה זו שקולה לראשוניות למחצה ולפשטות למחצה, ולפי משפט ודרברן-ארטין החוג שווה לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוג עם חילוק.

הגדרה ומבנהעריכה

יהי חוג  . רדיקל ג'ייקובסון שלו הוא חיתוך כל האידיאלים הפרימיטיביים שלו, ששווה גם לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים שלו. החוג נקרא פרימיטיבי למחצה אם רדיקל ג'ייקובסון שלו שווה אפס.

הגדרה שקולה: חוג הוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם קיים לו מודול פשוט למחצה ונאמן.

הגדרה אחרת, בעלת אופי פחות כללי (וההגדרה המקורית שג'ייקובסון נתן), היא: החוג נקרא פרימיטיבי למחצה אם הוא מהווה מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים - כלומר, יש שיכון של   בתוך מכפלה המנות הפרימיטיביות שלו:   המהווה גם העתקה על כל רכיב. הגדרה זו נגררת מההגדרה הקודמת, אך לא תמיד גוררת אותה.

כל חוג פשוט למחצה הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה.

בדומה למקרה הפרימיטיבי, חוג קמוטטיבי פרימיטיבי למחצה הוא סכום ישר של שדות.

דוגמאותעריכה

  • חוג השלמים הוא פרימיטיבי למחצה (ולא פשוט למחצה).
  • חוג אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי אינסוף-ממדי הוא בעל רדיקל ג'ייקובסון אפס אך איננו מכפלה חצי-ישרה של חוגים פרימיטיביים.
  •   הוא פרימיטיבי למחצה ולא ראשוני; חוג השלמים ה-p-אדיים הוא ראשוני אך לא פרימיטיבי למחצה.

המקרה הארטיניעריכה

במקרה שהחוג גם ארטיני, כל המחלקות הנפוצות של חוגים קורסות למחלקה אחת - חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם הוא פרימיטיבי למחצה ואם ורק אם הוא פשוט למחצה. במקרה זה, לפי משפט ודרברן-ארטין, החוג איזומורפי לסכום ישר סופי של מטריצות מעל חוגים עם חילוק.

במקרה הלא ארטיני יש דוגמאות נגדיות לכל כיוון שלא מתקיים במקרה הכללי.

המשפט העיקר של ודרברןעריכה

המשפט העיקרי של ודרברן קובע כי כל חוג   סוף-ממדי מעל שדה   מתקיים ש-  פרימיטיבי למחצה (או בשקילות מקיים כל אחת מהתכונות לעיל), ויותר מכך - קיים תת-חוג   כך ש- .

ראו גםעריכה