טיוטה:התפלגות תת-אקספוננציאלית
הערך נמצא בשלבי עבודה במסגרת מיזם "עבודות ויקידמיות". נא לא לערוך ערך זה עד להסרת התבנית. הערות לערך נא להוסיף בדף השיחה.
| ||
הערך נמצא בשלבי עבודה במסגרת מיזם "עבודות ויקידמיות". נא לא לערוך ערך זה עד להסרת התבנית. הערות לערך נא להוסיף בדף השיחה. | |
שיחה |
בתורת ההסתברות, התפלגות תת-מעריכית היא התפלגות שזנבותיה דועכים בקצב מהיר שהוא לפחות מעריכי או מהיר יותר. פורמלית, התפלגות של משתנה מקרי תיקרא תת-מעריכית אם עבור כל גדול קיים כך ש: .[1]
במילים: הסיכוי ש נמצא רחוק יותר מ- חסום בפונקציה מעריכית דועכת ביחס ל-.
התפלגות תת-מעריכית היא גם התפלגות זנב דק כיוון שהיא עונה על ההגדרה שקיים :[2]
- , כאשר נגדיר
הגדרות
עריכהההתפלגות התת-מעריכית ניתנת להגדרה במספר דרכים שקולות, עבור קבועים ממשיים[1]:
- תוחלת האקספוננט של הערך המוחלט של המשתנה המקרי כפול פרמטר חסום בשתיים: .
- עבור כל כך ש- , התוחלת של האקספוננט של המשתנה המקרי כפול למדה דועכת מעריכית עם קצב : .
- לכל , מתקיים: .
- במידה ש- , עבור כל כאשר , מתקיים: .
- אם קיים משתנה שהוא תת-גאוסי
תכונות
עריכה- סכום משתנים תת-מעריכיים: אם ו- הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים, אז גם הסכום שלהם הוא תת-מעריכי.
- יציבות תחת מקסימום: התפלגויות תת-מעריכיות הן יציבות תחת מקסימום. כלומר, אם הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים, אז גם הוא תת-מעריכי.
- הוכחה: ניתן להוכיח זאת באמצעות חסם האיחוד וההגדרה הראשונה של התפלגות תת-מעריכית:
, כאשר הם פרמטרי התת-מעריכיות של המשתנים.
נורמות
עריכהנורמת אורליץ
עריכהנורמת אורליץ(אנ') של משתנה מקרי מוגדרת באמצעות פונקציית אורליץ לפי הנוסחה:
- .
תקרא פונקציית אורליץ והיא תקיים את התכונות הבאות:[3]
- פונקציה קמורה
- פונקציה מונוטונית לא יורדת
- מוגדרת על המספרים האי-שליליים ( )
- ומקיימת ,
מקרים מיוחדים של פונקציית :
- כאשר , הנורמה התקבלת היא נורמת של המשתנה המקרי.
- עבור הפונקציות (לכל ), מדובר במשפחה המעריכית של פונקציות אורליץ. משתנה מקרי עם נורמת סופית נחשב למשתנה תת-גאוסי, ומשתנה עם נורמת סופית נחשב למשתנה תת-מעריכי.
נורמה תת-מעריכית
עריכההנורמה התת-מעריכית היא דוגמה לנורמת אורליץ כאשר , מסומנת כ- , של משתנה מקרי מוגדרת על ידי: ,
על סמך ההגדרה השקולה הראשונה, אם הנורמה סופית המשתנה הוא תת-מעריכי.
נורמה תת-גאוסית
עריכההנורמה התת-גאוסית היא דוגמה לנורמת אורליץ כאשר , מסומנת כ- , של משתנה מקרי מוגדרת על ידי: .
הקשר בין משתנה מקרי תת-גאוסי למשתנה מקרי תת-מעריכי
עריכה- כל משתנה שהוא תת גאוסיאני הוא גם משתנה מקרי תת מעריכי [1]
- אם הוא משתנה מקרי תת-מעריכי, אז המשתנה הוא משתנה מקרי תת-גאוסי, ומתקיים ש: .
- טענה זאת נובעת ישירות מהגדרת הנורמות
- אם ו- הם משתנים מקריים תת-גאוסיים, אז המכפלה שלהם, , היא משתנה מקרי תת-מעריכי, ומתקיים .
משפטים
עריכהאי שיוויון ברנשטיין
עריכהאי שיוויון ברנשטיין מספק חסם על הזנב של סכום של משתנים מקריים תת-מעריכיים עצמאיים עם תוחלת אפס.
נניח ש- הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים עם תוחלת אפס. אזי, לכל , מתקיים[1]:
- ,
כאשר .
אי-שוויון ברנשטיין עבור התפלגויות חסומות
עריכהנניח ש- הם משתנים מקריים תת-מעריכיים בלתי תלויים עם תוחלת אפס. נניח גם כי המשתנים חסומים, כלומר לכל , עבור קבוע . אז עבור כל , אי-שוויון ברנשטיין קובע כי:
כאשר היא סכום השונויות.
התפלגויות מוכרות
עריכה- ההתפלגות מעריכית היא התפלגות תת מעריכית
- התפלגות וייבול כאשר :
- פונקציית ההסתברות המצטברת שלה היא:
- זנב ההתפלגות מקיים:
- עבור : כלומר, מדובר בקצב דעיכה מעריכי בדיוק, כאשר הקבוע הוא הפרמטר . לכן, כאשר , התפלגות וייבול היא תת-מעריכית (זהה להתפלגות מעריכית).
- עבור , מתקיים: ביטוי זה דועך מהר יותר מאקספוננט שלילי פשוט, כלומר גם במקרה זה ההתפלגות היא תת-מעריכית.
- עבור , תנאי זה לא מתקיים, ולכן התפלגות וייבול אינה תת-מעריכית במקרים אלו.
לקריאה נוספת
עריכה- High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science, Roman Vershynin, University of California, Irvine, June 9, 2020
הערות
עריכה- ^ 1 2 3 4 High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science, Roman Vershynin, University of California, Irvine, June 9, 2020
- ^ On Some Connections between Light Tails, Regular Variation and Extremes by Anja 2010 [1]
- ^ http://www.stat.yale.edu/~pollard/Books/Pttm/Orlicz.pdf Section 5.1