טריגונומטריה ספירית

Spherical triangle with notations1.png

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

  • הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או ).
  • הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות ).
(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטיםעריכה

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורסעריכה

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם   ו- , ואורך היתר הוא  , אז  . בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:  .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה   לטור מקלורן:  
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:  .
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם  , מקבלים כאשר רדיוס הכדור   את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית:  .

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:   ,  ,  .

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:  .

הצבת השוויונות:   במשוואה האחרונה מניבה את המשפט:  .

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה  .

משפט הסינוסיםעריכה

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן   והזוויות שמולן הן   בהתאמה, מתקיים:  .

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא:  .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה   לטור מקלורן:  .

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור    :  .

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית: .

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי  ,   וגם  ,  .

במשולש AED מתקיים:   ובמשולש AFD מתקיים:   ולכן  .

במשולש AOE מתקיים:   ובמשולש AOF מתקיים:   .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:  , כלומר: .

משפט הקוסינוסיםעריכה

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן   והזוויות שמולן הן   בהתאמה, מתקיים:  

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:  .

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי:  ).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות   לטור מקלורן:  ,  .

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:  .

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם  , מקבלים כאשר רדיוס הכדור   את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית:  .

זהויותעריכה

מכפלת סינוס וקוסינוס  
מכפלת סינוס וקוטנגנס  
משפט הטנגסים  
נוסחאות נפייר  

 

 

 

נוסחאות דלאמבר  

 

חצי זווית (סימון:  ).  

 

 

חצי צלע (סימון:   ).  

 

 

שימושים בתרבותעריכה

ישנם דתות המצוות על מאמיניהם להתפלל כל תפילה כשהגוף מופנה לנקודה מסוימת על פני כדור הארץ (למשל ביהדות - לכיוון ירושלים, ובאסלאם - לכיוון מכה) - בשביל לעשות זאת על המתפלל לדעת את מיקומו על פני כדור הארץ (קו אורך וקו רוחב), ואז באמצעות טריגונומטריה ספירית, לחשב את כיוון התפילה הרצוי.

קישורים חיצונייםעריכה