מרחב מכפלה פנימית

באלגברה ליניארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שני איברים במרחב, המקיימת תכונות מסוימות ומכונה מכפלה פנימית.

מכפלה פנימית היא פונקציה, הפועלת על זוג איברים מתוך מרחב נתון, ומחזירה סקלר מעל השדה הנתון. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך וזווית. האורך והזווית המוכללים אינם בהכרח בעלי משמעות גאומטרית. העקרונות שמגדירים את פעולת המכפלה הפנימית, נלמדים ומוכללים ממושג המכפלה הסקלרית שמוגדרת מעל המרחב התלת-ממדי שאינטואיטיבי לחשיבה האנושית.

מרחב וקטורי $V$ מעל השדה $\mathbb {F}$ , עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית. עבור מרחבים מממד סופי, כאשר $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ המרחב $V$ נקרא מרחב אוקלידי, וכאשר $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ הוא נקרא מרחב אוניטרי.

הגדרה פורמלית

יהי $\,V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {F}$ , כאשר $\mathbb {F}$ הוא שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ או שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ . פונקציה $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {F}$ תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

אדיטיביות ברכיב הראשון:
$\forall a,b,c\in V:\langle a+b,c\rangle =\langle a,c\rangle +\langle b,c\rangle$
הומוגניות ברכיב הראשון:
$\forall a,b\in V,\lambda \in \mathbb {F} :\langle \lambda a,b\rangle =\lambda \langle a,b\rangle$
הרמיטיות (מעל הממשיים – סימטריות):
$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$
חיוביות לחלוטין (אי-שליליות וממשיות):
$\forall x\in V,\ \langle x,x\rangle \geq 0$ והשוויון מתקבל אם ורק אם $\ x=0$

השלכות מההגדרה

תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:
$\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$ פירושו כי $\langle x,x\rangle$ הוא מספר ממשי (משום שהצמוד למספר ממשי הוא המספר עצמו).
באמצעות ההרמיטיות ניתן להכליל את האדיטיביות גם עבור הרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד מרוכב – כאשר מוציאים סקלר מהרכיב השני במכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:

\langle x,\lambda y\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle

מההומוגניות נובע כי תמיד מתקיים: $\langle 0,x\rangle =\langle 0\cdot x,x\rangle =0\cdot \langle x,x\rangle =0$

שימושים

בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להכליל את המושגים אורך, מרחק בין שני וקטורים, זווית בין שני וקטורים וניצבות, המוכרים מהמרחב האוקלידי:

נורמה (הכללת האורך)

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$
בזכות תכונת האי-שליליות (חיוביות לחלוטין) גודל זה הוא תמיד אי-שלילי.

מטריקה (הכללת המרחק)

$d(x,y)={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}$

זווית בין שני וקטורים

ניתן להגדיר זווית בין וקטורים בצורה הבאה: $\operatorname {\theta } (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}}$ . ניתן להראות שהארכקוסינוס תמיד מוגדר בעזרת אי-שוויון קושי-שוורץ.

אורתוגונליות (הכללת הניצבות)

שני וקטורים $x$ ו- $y$ הם אורתוגונליים אם ורק אם המכפלה הפנימית שלהם שווה $0$ , כלומר $\langle x,y\rangle =0$ ומסמנים $\,x\perp y$ .

מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא גם מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה לעיל המושרית מהמכפלה הפנימית.

דוגמאות למכפלות פנימיות

המכפלה הסקלרית הסטנדרטית במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{3}$ שנתונה על ידי ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$ (כאשר $\theta$ היא הזווית בין הווקטורים) היא מכפלה פנימית.
יהי $V=\{{\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {F} \}=\mathbb {F} ^{n}$ מרחב וקטורי.
- אם $\ \mathbb {F} =\mathbb {R}$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$ היא מכפלה פנימית.
- אם $\ \mathbb {F} =\mathbb {C}$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+\cdots +x_{n}{\overline {y_{n}}}$ היא מכפלה פנימית.
עבור שתי מטריצות מאותו סדר $A$ ו- $B$ (מעל $\mathbb {R}$ ), הגודל $\mathrm {tr} (AB^{t})$ (כלומר העקבה של המכפלת האחת בשחלוף השנייה) הוא מכפלה פנימית. ניתן לכתוב מכפלה פנימית זו גם כך: $\sum _{i,j}{A_{ij}}B_{ij}$ .
את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle ={\vec {x}}^{T}I{\vec {y}}$ . אם נחליף את $I$ (מטריצת היחידה) במטריצה $A$ חיובית לחלוטין נקבל גם כן מכפלה פנימית. כל מכפלה פנימית מעל $\mathbb {R} ^{n}$ ניתנת להצגה בצורה זו עבור מטריצה A כלשהי.
במרחב כל הפונקציות האינטגרביליות בריבוע במובן לבג בתחום $\,I$ , שמסומן $\ L^{2}(I)$ , המכפלה הפנימית היא $\langle f,g\rangle =\int _{I}{f(x)\ {\overline {g(x)}}\ dx}$ . מכפלה זו הופכת את המרחב למרחב הילברט, לפי משפט ריז-פישר.
בפיזיקה קוונטית, משתמשים בסימון דיראק (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת מצב קוונטי מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי (בניגוד למוסכמה הנהוגה במתמטיקה): $\langle a\phi |b\psi \rangle =a^{*}b\langle \phi |\psi \rangle$ . כאשר הכוכבית מסמנת צמוד מרוכב.