יחסי גרין

יחסי גרין הם יחסי שקילות בסיסיים המוגדרים בחבורה למחצה, ומארגנים את המבנה שלה סביב תת-החבורות המקסימליות. את היחסים הגדיר סנדי גרין (1926-2014).

הגדרה

תהי $S$ חבורה למחצה, ויהי $S^{1}$ המונואיד המתקבל מצירוף איבר יחידה ל-$S$. יחסי גרין הם חמישה יחסי שקילות המוגדרים על $S$:

• $aJb$ אם $a,b$ יוצרים את אותו אידיאל דו-צדדי, כלומר $S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}$.
• $aLb$ אם $a,b$ יוצרים את אותו אידיאל שמאלי, כלומר $S^{1}a=S^{1}b$.
• $aRb$ אם $a,b$ יוצרים את אותו אידיאל ימני, כלומר $aS^{1}=bS^{1}$.
• $aHb$ אם $aLb$ וגם $aRb$.
• יחס $D$ הוא יחס השקילות הקטן ביותר שמכיל את היחסים $R,L$.

תכונות עיקריות

נאמר "מחלקת-$J$" במקום "מחלקת שקילות לפי $J$", וכדומה. היחס $H$ הוא העדין ביותר: כל מחלקת-$J$ היא איחוד של מחלקות $D$. כל מחלקת $D$ היא איחוד של מחלקות-$L$ ואיחוד של מחלקות-$R$, וכל אחת מאלו היא איחוד של מחלקות-$H$.

בין מחלקות-$J$ מוגדר יחס סדר ($[a]<[b]$ אם $S^{1}aS^{1}$ מוכל ב-$S^{1}bS^{1}$).

מתקיים $D=L\circ R=R\circ L$. תכונה זו מאפשרת פירוק של כל מחלקת-$D$ ל"תבנית ביצים", כך ששני איברים נמצאים באותה שורה אם הם שקולים-$R$, באותה עמודה אם הם שקולים-$L$, ובאותה תיבה אם הם שקולים-$H$.

איבר $a$ הוא רגולרי אם קיים $b$ כך ש-$aba=a$ ו-$bab=b$; במקרה זה $b$ הוא הפכי של $a$ (למעשה, מספיק לדרוש קיום $b$ כך ש $aba=a$ כדי להבטיח ש $a$ רגולרי, מפני ש $b^{\prime }=bab$ יהיה הופכי מתאים). אם מחלקת-$D$ מכילה איבר רגולרי, אז כל האיברים במחלקה הם רגולריים, וכל ההפכיים שלהם שייכים לאותה מחלקה.

תת-החבורות המקסימליות של $S$ הן מחלקות-$H$ הכוללות אידמפוטנט. אם שתי תת-חבורות מקסימליות נמצאות באותה מחלקת-$D$, אז הן איזומורפיות; מחלקת-$D$ מכילה תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם היא רגולרית.

אם $S$ סופית אז מתקיים $D=J$. במקרה זה יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ההצגות האי-פריקות של $S$, לבין הזוגות $(J,f)$ כאשר $J$ היא מחלקת-$J$ רגולרית ו-$f$ היא הצגה אי-פריקה של תת החבורה המקסימלית המוכלת בה (שהיא יחידה עד כדי איזומורפיזם).