כיסוי בזיקוביץ'

באנליזה מתמטית, כיסוי בזיקוביץ' של תת־קבוצה $S$ במרחב אוקלידי הוא כיסוי של $S$ על ידי כדורים פתוחים כך שכל נקודה של $S$ היא המרכז של כדור מהכיסוי.

משפט הכיסוי של בזיקוביץ' קובע שלכל מרחב אוקלידי $\mathbb {R} ^{N}$ יש קבוע $c_{N}$ שמקיים את התכונה הבאה:

• לכל כיסוי בזיקוביץ' $F$ של קבוצה חסומה $E$ קיימות $c_{N}$ תת־קבוצות בנות־מנייה של $F$ שכל אחת מהן מורכבת מכדורים זרים, כך שאיחודן מכסה את $E$.

את המשפט הוכיח המתמטיקאי הרוסי אברם סמוילוביץ' בזיקוביץ'.

הכללות

המשפט נכון גם כשהכדורים סגורים, וגם עבור קוביות. למעשה, הכללה שמצא A.P. Morse למשפט נותנת מגוון רחב של צורות אפשריות:

תהי $E$ קבוצה חסומה במרחב אוקלידי, ולכל נקודה $x$ של $A$ תהי $H$ קבוצה שמקיימת את שתי התכונות הבאות:

• יש מספר חיובי $M$ שאינו תלוי ב-$x$, ויש כדור סגור $B$ סביב $x$, כך ש-$H$ מכילה את $B$ ומוכלת בכדור סביב $x$ שרדיוסו גדול פי $M$ מרדיוס $B$.

• לכל נקודה $z$ ב-$H$, הקבוצה $H$ מכילה את הקמור של הכדור $B$ שסופחה לו הנקודה $z$.

אז אפשר לבחור מתוך משפחת הקבוצות הנתונה $c_{N}$ תת־משפחות שכל אחת מהן מורכבת מקבוצות זרות, כך שאיחודן מכסה את $E$.

משפט הכיסוי נכון בכל מרחב נורמי מממד סופי, ואף לקבוצות $E$ שאינן חסומות, ובלבד שרדיוסי הכדורים שמכסים אותן חסומים.

הנחה זו על הרדיוסים היא נחוצה, כפי שניתן לראות מכיסוי הקרן $[0,\infty ]$ על ידי כל הכדורים שרדיוסם שווה למרכזם; אכן, במקרה זה כל אחת מהתת־קבוצות של הכיסוי חייבת להיות קטע בודד, אך כמות סופית של קטעים לא תוכל לכסות את כל הקרן.

שימוש

ניתן להוכיח בעזרת משפט הכיסוי חיזוק של משפט סארד: תהי $G$ קבוצה פתוחה במרחב אוקלידי, תהי $X$ קבוצה עם מידה חיצונית $m$ ותהי $f:G\to X$ פונקציה. נאמר שנקודה $x\in G$ היא נקודה קריטית של $f$ אם קיימת סדרת קוביות סביב $x$ שרדיוסן שואף לאפס כך ש$m(f(Q_{n}))=o(v(Q_{n}))$ כאשר $v(Q_{n})$ הוא נפח הקובייה. אז המידה של תמונת קבוצת הנקודות הקריטיות של $f$ היא אפס.

הוכחה: תהי $S$ קבוצה חסומה של נקודות קריטיות, מספיק להוכיח שהמידה של תמונת $S$ היא אפס. מספיק להוכיח שהיא קטנה כרצוננו, ולכן יהי $\epsilon$ חיובי. $S$ חסומה ולכן מוכלת בקבוצה פתוחה וחסומה $U$. תהי $x$ נקודה ב-$S$. כיוון ש-$x$ היא נקודה קריטית נוכל (מהגדרת הסימון האסימפטוטי $o$) למצוא קובייה סביבה שמוכלת ב-$U$ ושנפחה גדול פי לפחות ${\frac {1}{\epsilon }}$ ממידת תמונתה. נתאים לכל נקודה את הקובייה שמצאנו, ונקבל כך כיסוי בזיקוביץ' של $S$. לפי משפט הכיסוי נוכל לבחור משפחה בת־מנייה $Q_{k}$ מתוך הקוביות הללו שמכסה את $S$ כך שכל איבר של $S$ מופיע בלכל היותר $c_{N}$ מהקוביות הללו. המשפחה מוכלת כמובן ב-$U$, ולכן:

$$m(f(S))\leq m(f(\bigcup Q_{k}))=m(\bigcup (f(Q_{k}))\leq \sum m(f(Q_{k}))\leq \sum \epsilon v(Q_{k})\leq c_{N}\epsilon v(\bigcup Q_{k})\leq c_{N}\epsilon v(U)$$

והביטוי האחרון קטן כרצוננו; מש"ל.