למת הנחש

למת הנחש הוא משפט באלגברה הומולוגית העוסק בזוג סדרות קצרות מדויקות עם העתקות ביניהן, שיוצרות דיאגרמה מתחלפת. המשפט קושר בין הגרעינים והקו-גרעינים של ההעתקות הנתונות, באופן המאפשר לקבל סדרה מדויקת חדשה.

ללמת הנחש תפקיד מרכזי בהוכחת הדיוק של סדרת מאייר-ויאטוריס המקשרת בין ההומולוגיה של מרחב טופולוגי לבין ההומולוגיה של כיסוי פתוח שלו.

נוסח פורמלי

יהיו $A,B,C,A',B',C'$ חבורות אבליות או מודולים מעל חוג או באופן כללי יותר אובייקטים של קטגוריה אבלית נתונה, ונניח כי הדיאגרמה הבאה מתחלפת,

כאשר $f,g,f',g',a,b,c$ הומומורפיזמים, וכן השורה העליונה והשורה התחתונה מהוות סדרות קצרות מדויקות.

אזי קיים הומומורפיזם טבעי $d$ כך שמתקבלת סדרה מדויקת מהצורה, $\ker a\to \ker b\to \ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~~{\text{coker}}~a\to {\text{coker}}~b\to {\text{coker}}~c$

בנוסף, אם $f$ הוא מונומורפיזם, אז גם החץ $\ker a\to \ker b$ הוא מונומורפיזם. כמו כן, אם $g'$ הוא אפימורפיזם אז גם החץ ${\text{coker}}~b\to {\text{coker}}~c$ הוא אפימורפיזם.

הסיבה לשם למת הנחש, הוא האופן בו נבנית הסדרה המדויקת מתוך הדיאגרמה:

בניית ההעתקות של הסדרה המדויקת

ההעתקות בין הגרעינים והקו-גרעינים מושרות באופן טבעי. לכן גם הדיוק של חלקה הראשון של הסדרה והדיוק של חלקה השני מתקבלים מההנחה כי הסדרות המקוריות מדויקות. האתגר המרכזי הוא בניית ההעתקה $d$.

נתאר את בניית ההעתקה $d$ עבור המקרה של חבורות אבליות או מודולים מעל חוג: יהי $x\in \ker c$.

נתבונן בשיכון הטבעי $x\hookrightarrow C$, ונשתמש בכך ש-$g$ העתקה על. אז יש $y\in B$ שעבורו $g(y)=x$.

מהתחלפות הדיאגרמה נובע כי $g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0$, כאשר השוויון האחרון הוא כי $x\in \ker c$.

מהיות השורה התחתונה מדויקת, נובע שקיים $z\in A'$ המקיים $f'(z)=b(y)$, והוא יחיד מההנחה כי $f'$ חח"ע.

נגדיר אם כך $d(x):=z+{\text{im}}~a\in {\text{coker}}~a$.

ניתן להראות כי $d$ אכן מוגדרת היטב, כי היא הומומורפיזם וכי אכן מתקבלת סדרה מדויקת.

טבעיות

כפי שהוזכר לעיל, ההעתקה $d$ היא טבעית. כלומר, נתבונן במצב של דיאגרמה המתארת סיטואציה כפולה מזו שבלמת הנחש,

כאשר בנוסף להתחלפות של הדיאגרמה בעלת האינדקס 1 והדיאגרמה בעלת האינדקס 2, יש גם התחלפות של כל הדיאגרמה התלת-ממדית.

אז ניתן לקבל זוג סדרות ארוכות מדויקות על ידי הפעלת למת הנחש פעמיים, ומתקבלות העתקות בין הסדרות הארוכות המדויקות הללו בצורה הבאה,

כאשר זו דיאגרמה מתחלפת.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא למת הנחש בוויקישיתוף

• למת הנחש, באתר MathWorld (באנגלית)