בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי .
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב .[1] המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.
באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים , מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.
מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים . כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.
נוסח ראשון : יהי
(
X
,
F
,
P
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
מרחב הסתברות, ותהי
{
X
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.[2]
נגדיר "מאורע זנב"
A
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך
{
X
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
.[3]
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב
A
{\displaystyle A}
, מתקיים
P
(
A
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0}
או
P
(
A
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}
.
נוסח שני : יהי
(
X
,
F
,
P
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
מרחב הסתברות, ותהי
{
F
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
ובלתי-תלויות.[4]
עבור
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=0,1,2,...}
, נגדיר
T
n
=
σ
(
⋃
i
=
n
∞
F
i
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}=\sigma \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }F_{i}\right)}
, ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב ,
T
=
⋂
n
=
1
∞
T
n
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {T}}_{n}}
.[5] מאורעות
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
מכונים "מאורעות זנב".
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע
A
∈
T
{\displaystyle A\in {\mathcal {T}}}
מתקיים
P
(
A
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0}
או
P
(
A
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}
.
הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת
F
i
=
σ
(
X
i
)
{\displaystyle F_{i}=\sigma \left(X_{i}\right)}
, כלומר
F
i
{\displaystyle F_{i}}
היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה
X
i
{\displaystyle X_{i}}
מדיד.
המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי . עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.
למה : תהי
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
אלגברה של קבוצות על
X
{\displaystyle X}
. תהי
F
=
σ
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma \left({\mathcal {A}}\right)}
.
אזי לכל
A
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
, לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
קיימת
B
∈
A
{\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
, כך שמתקיים
P
(
A
△
B
)
<
ϵ
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon }
.
הוכחה בקצרה : ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
, ולכן היא מכילה את
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
.
נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.
עבור
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle n=1,2,3,...}
נגדיר
G
n
=
σ
(
F
1
,
.
.
.
,
F
n
−
1
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\sigma \left(F_{1},...,F_{n-1}\right)}
, ונגדיר
G
=
⋃
n
=
1
∞
G
n
{\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{n}}
. נשים לב כי
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות , ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים
T
1
=
σ
(
G
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}=\sigma \left({\mathcal {G}}\right)}
.
בהינתן מאורע
A
∈
T
{\displaystyle A\in {\mathcal {T}}}
, מהלמה נובע כי לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
יש מאורע
B
∈
G
{\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}
שעבורו מתקיים
P
(
A
△
B
)
<
ϵ
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon }
, כלומר
P
(
A
)
−
ϵ
<
P
(
B
)
<
P
(
A
)
+
ϵ
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon }
.
יהי
N
{\displaystyle N}
שעבורו
B
∈
G
N
{\displaystyle B\in {\mathcal {G}}_{N}}
. נשים לב כי
A
∈
T
⊂
T
N
+
1
{\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {T}}_{N+1}}
, ולכן
A
,
B
{\displaystyle A,B}
בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי
P
(
A
)
−
ϵ
<
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
<
P
(
A
)
⋅
(
P
(
A
)
+
ϵ
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(A\cap B\right)=\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \left(\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon \right)}
.
אבל
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
שרירותי, ולכן נובע כי
P
(
A
)
=
P
(
A
)
2
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=\mathbb {P} \left(A\right)^{2}}
, כלומר
P
(
A
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0}
או
P
(
A
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}
.
נתבונן במרחב
X
=
{
0
,
1
}
N
{\displaystyle X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }}
, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה
C
(
a
,
n
)
=
{
x
∈
X
∣
x
n
=
a
}
{\displaystyle C\left(a,n\right)=\left\{\mathbf {x} \in X\mid x_{n}=a\right\}}
(כאשר
x
n
{\displaystyle x_{n}}
הוא הקואורדינטה ה-
n
{\displaystyle n}
של
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
), עבור
a
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle a\in \left\{0,1\right\}}
כלשהו.
נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות
P
(
C
(
a
,
n
)
)
=
1
2
{\displaystyle \mathbb {P} \left(C\left(a,n\right)\right)={\frac {1}{2}}}
לכל
a
{\displaystyle a}
ולכל
n
{\displaystyle n}
. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.
עבור
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle i=1,2,3,...}
נגדיר
F
i
=
σ
(
C
(
0
,
i
)
)
{\displaystyle F_{i}=\sigma \left(C\left(0,i\right)\right)}
, ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים
X
i
(
x
)
=
x
i
i
{\displaystyle X_{i}\left(\mathbf {x} \right)={\frac {x_{i}}{i}}}
.
אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:
{
x
∈
X
∣
∑
i
=
1
∞
X
i
(
x
)
<
∞
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<\infty \right\}}
{
x
∈
X
∣
lim
i
→
∞
X
i
(
x
)
exists
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \lim _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right){\mbox{exists}}\right\}}
{
x
∈
X
∣
lim sup
i
→
∞
X
i
(
x
)
<
c
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \limsup _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<c\right\}}
לאיזשהו
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי
עריכה
באופן כללי יותר, אם
{
A
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע
{
infinitely many of the
A
i
occur
}
=
lim sup
i
(
A
i
)
=
⋂
n
=
1
∞
⋃
i
=
n
∞
A
i
{\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}}
הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.
הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור
∑
i
=
1
∞
P
(
A
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)}
מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות
P
(
lim sup
i
→
∞
A
i
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i\to \infty }A_{i}\right)=1}
.
^ המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
i
1
,
.
.
.
,
i
k
{\displaystyle i_{1},...,i_{k}}
, לכל קבוצת מאורעות
A
i
1
,
.
.
.
,
A
i
k
{\displaystyle A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}}
, מתקיים כי
P
(
X
i
1
∈
A
i
1
,
.
.
.
,
X
i
k
∈
A
i
k
)
=
P
(
X
i
1
∈
A
i
1
)
⋅
.
.
.
⋅
P
(
X
i
k
∈
A
i
k
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)}
.
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
i
1
,
.
.
.
,
i
k
{\displaystyle i_{1},...,i_{k}}
, עבור
X
i
1
,
.
.
.
,
X
i
k
{\displaystyle X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}}
, מתקיים כי
P
(
A
∣
X
i
1
,
.
.
.
,
X
i
k
)
=
P
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\mid X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A\right)}
.
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
i
1
,
.
.
.
,
i
k
{\displaystyle i_{1},...,i_{k}}
, לכל קבוצת מאורעות
A
i
1
∈
F
i
1
,
.
.
.
,
A
i
k
∈
F
i
k
{\displaystyle A_{i_{1}}\in F_{i_{1}},...,A_{i_{k}}\in F_{i_{k}}}
, מתקיים כי
P
(
A
i
1
∩
.
.
.
∩
A
i
k
)
=
P
(
A
i
1
)
⋅
.
.
.
⋅
P
(
A
i
k
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap ...\cap A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(A_{i_{k}}\right)}
.
^ חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.