פתיחת התפריט הראשי

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

כאשר ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

תוכן עניינים

הגדרותעריכה

הצגת דיראקעריכה

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

 
 

כאשר   הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

 

הצגת ויילעריכה

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

   
   

כאשר   הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

 

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

 : 

הצגת מיורנהעריכה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

 
 

תכונותעריכה

זהויות בסיסיותעריכה

  • מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת דיראק:
     
כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-  היא מטריקת מינקובסקי  .
בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל   מתקיים  
  • מכאן נובע ש:
    •  
    •   כאשר k=1,2,3.
  • ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
    •  
    •   כאשר k=1,2,3.
  • מטריצת הכיראליות   מקיימת:
    •  
    •  
    •  , כלומר:  
  • מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימהעריכה

Num Identity
1  
2  
3  
4  

זהויות עקבהעריכה

Num Identity
1 העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות   היא אפס.
2  
3  
4  
5  

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

  • ליניאריות:  
  • ציקליות:  

יוצרים של חבורת לורנץעריכה

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

 

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

 

והסיבובים נתונים על ידי

 

לקריאה נוספתעריכה

  • Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50