מטריצות גאמה של דיראק

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות $\ \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

\ \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0

כאשר $\mu =0,1,2,3$ ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות

הצגת דיראק

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}

\gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}

כאשר $\sigma ^{k}$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}

הצגת וייל

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

$\ \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\ \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\quad ,$
$\ \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\ \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad ,$

כאשר $\sigma ^{k}$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}-I&0\\0&I\end{pmatrix}}

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

:

\psi _{L}={\begin{pmatrix}I&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\quad \psi _{R}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I+\gamma ^{5}}{2}}\psi

הצגת מיורנה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}

\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}

תכונות

זהויות בסיסיות

מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:
$\ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4\times 4}$

כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-

\eta

היא מטריקת מינקובסקי

\ \eta ^{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)

.

בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל

\mu \neq \nu

מתקיים

\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }

מכאן נובע ש:
- $\ (\gamma ^{0})^{2}=I_{4\times 4}$
- $\ (\gamma ^{k})^{2}=-I_{4\times 4}$ כאשר k=1,2,3.
ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
- $\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}$
- $\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}$ כאשר k=1,2,3.

מטריצת הכיראליות $\gamma ^{5}$ מקיימת:
- $\ (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}$
- $\ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4\times 4}$
- $\ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\}=0$ , כלומר: $\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }$
מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימה

Num	Identity
1	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$
2	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I$
4	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

זהויות עקבה

Num	Identity
1	העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות $\ \gamma ^{\mu }$ היא אפס.
2	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }$
3	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
4	$\operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

ליניאריות: $\ \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} (A)+\beta \operatorname {tr} (B)$
ציקליות: $\ \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)$