מטריצת אפסים

במתמטיקה ובפרט באלגברה ליניארית, מטריצת אפסים היא מטריצה שכל איבריה הם 0, כלומר אפסים. לדוגמה:

$0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\$

קבוצת המטריצות מסדר m×n בחוג K יוצרת את החוג $K_{m,n}\,$. מטריצת האפסים $0_{K_{m,n}}\,$ ב-$K_{m,n}\,$ היא המטריצה שכל איבריה שווים ל-$0_{K}\,$, כאשר $0_{K}\,$ הוא איבר האפס ב-K. דהיינו:

$0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

מטריצת האפסים היא איבר האפס ב-$K_{m,n}\,$, כלומר לכל $A\in K_{m,n}\,$ מתקיים:

$0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A$

עבור החוג K קיימת בדיוק מטריצת אפסים אחת מסדר $m\times n$, כך שבהקשר ברור ניתן להתייחס אליה כאל מטריצת האפסים. גם איבר האפס מיוצג בדרך כלל באמצעות 0 כך שניתן להגדירה באופן גנרי עבור כל חוג.

מטריצת אפסים מייצגת טרנספורמציה ליניארית המעבירה כל וקטור לווקטור האפס.

בעיית מטריצת האפסים

בעיית מטריצת האפסים מוגדרת בהינתן קבוצה סופית של מטריצות $n\times n$ עם ערכים שלמים, ושואפת למצוא אלגוריתם מתמטי שיקבע האם ניתן להכפילן בסדר כלשהו, ייתכן עם חזרות, באופן שתוצר ההכפלה יהיה מטריצת האפס.

הוכח כי בעיית מטריצת האפסים עבור קבוצה של 6 או יותר מטריצות $6\times 6$, או של שתי מטריצות $15\times 15$ היא בעיה לא כריעה.

ראו גם

• מטריצת היחידה
• מטריצת אחדות

קישורים חיצוניים

• מטריצת אפסים, באתר MathWorld (באנגלית)