הרחבת שדות – הבדלי גרסאות

לכל הרחבה יש '''קבוצת יוצרים''': [[תת קבוצה]] <math>\,S</math> של <math>\,K</math> היא קבוצת יוצרים של ההרחבה <math>\ K/F</math>, אם אפשר לקבל כל איבר של <math>\,K</math> באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) מן האברים ב-<math>\,S</math> והמקדמים ב-<math>\,F</math>. במקרה זה אין אף תת-שדה המכיל את <math>\,F</math> ואת <math>\,S</math>, מלבד <math>\,K</math> עצמו, כלומר K הוא השדה המינימלי שמכיל גם את השדה F וגם את איברי S; כותבים <math>\ K=F(S)</math>, ואם <math>\ S=\{a_1,\dots,a_n\}</math> כותבים גם <math>\ K=F(a_1,\dots,a_n)</math>. אם <math>\,F</math> תת-שדה של שדה <math>\,E</math> המכיל גם קבוצת איברים <math>\,S</math>, אז <math>\ F(S)</math> הוא תת-השדה הקטן ביותר של <math>\,E</math> המכיל את <math>\,F</math> ואת <math>\,S</math>.

 

לדוגמה, כיוון שהעוצמה של [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\ \mathbb{R}</math> גדולה מזו של [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math>, ההרחבה <math>\ \mathbb{R}/\mathbb{Q}</math> אינה נוצרת סופית.

 

 

== הערות שוליים ==

 

[[קטגוריה:תורת השדות]]