|
'''פונקציית הבסיס-13 של קונוויי''' היא [[פונקציה ממשית]] אותההמקבלת תיארכל ערך ממשי בכל קטע. הפונקציה המבוססת על ה[[מתמטיקאיבסיס (אריתמטיקה)|הצגת]] ערכים בבסיס 13 ובבסיס 10, תוארה על-ידי ה[[בריטימתמטיקאי]] [[ג'ון קונוויי]]. כמו הפתרונות הלא רציפים של [[המשוואה הפונקציונלית של קושי]], הגרף של הפונקציה [[קבוצה צפופה|צפוף]] במישור הממשי, והיא אינה [[פונקציה רציפה]] באף נקודה.
כ[[דוגמה נגדית]] ל[[משפט הפוך|משפט ההפוך]] ל[[משפט ערך הביניים]].
==מבוא==
פונקציות רציפות נתפסות באופן אינטואטיבי (ולא מדויק לחלוטין) כפונקציות שניתן לצייר את ה[[גרף של פונקציה|גרף]] שלהן בלי להרים את העפרון מהדף. לפי תפיסה אינטואטיבית זו, אם פונקציה רציפה מקבלת בשתי נקודות שונות שני ערכים שונים, אז בדרכה מערך אחד לאחר היא תעבור גם דרך כל ערך שבינהם. אינטואיציהזהו זואכן מתבררתהתוכן כנכונה מתמטית והיא נקראתשל [[משפט ערך הביניים]]. נשאלת השאלה האם גם הכיוון ההפוך נכון: האם פונקציה העוברת בדרכה משנימערך ערכיםאחד גםלאחר דרך כל ערך שבינהם, היא בהכרח פונקציה רציפה?
בניסוח מתמטי מגדירים פונקצייה f כ"פונקציית [[ז'ן גסטון דארבו|דארבו]]" אם לכל שתי נקודות a ו-b המקיימות <math>\ f(a)<f(b)</math> ולכל r המקיים <math>\ f(a)<r<f(b)</math> קיים c בין a ל-b כך ש-<math>\ f(c)=r</math>. בעזרת מושג זה ניתן לנסח את משפט ערך הביניים בתור הטענה "כל פונקציה רציפה היא פונקציית דארבו". השאלה שנוסחה קודם היא למעשה השאלה "האם כל פונקציית דארבו היא פונקציה רציפה?" התשובה לשאלה שלילית. לפי [[משפט דארבו]] כל פונקציה שיש לה [[פונקציה קדומה]] (כלומר היא ה[[נגזרת]] של פונקציה כלשהי) היא פונקציית דארבו, על אף שישנן פונקציות שיש להן פונקציה קדומה והן אינן רציפות.
הדוגמה הטיפוסית לטענה כי לא כל פונקציית דארבו רציפה היא הפונקציה <math>\ f(x)=\sin(1/x)</math> (כשמוסכם כי f(0)=0). פונקציה זו היא פונקציית דארבו בכל קטע שהוא, אם זאת היא אינה רציפה בנקודה x=0 (הפונקציה "משתוללת" בנקודה זו, ראו [[עקומת הסינוס של הטופולוגים]]). על אף שדוגמה זו מספיקה כדי להפריך את המשפט ההפוך למשפט ערך הביניים ולתת תשובה שלילית לשאלה ששאלנו, היא אינה דוגמה חזקה במיוחד. זאת משום שהפונקציה שבדוגמה [[נקודת אי רציפות|אינה רציפה]] בנקודה יחידה בלבד, ורציפה בכל נקודה אחרת. ניתן לעדן את המשפט ההפוך כך שהדוגמה הזו לא תספיק: נשאל את השאלה, "האם כל פונקציית דארבו מוכרחה להיות רציפה [[כמעט בכל]] נקודה?". הפונקציה f שהצגנו רציפה כמעט בכל נקודה פרט לאפס, ולכן אין היא מספיקה כדי לשלול את הטענה בשאלה החדשה. לשם כך הציג קונוויי פונקציה מתוחכמת מעט יותר, שהיא פונקציית דארבו לכל דבר, ובכל זאת, היא אינה רציפה באף נקודה.
==הגדרה ובנייה==
פונקציית הבסיס-13 של קונווי היא פונקציה <math>f: (0,1) \to \mathbb{R} </math> המוגדרת לכל <math> x \in (0,1) </math> כך:
* רושמיםמציגים את x ב[[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] 13 בעזרת ה[[ספרה|ספרות]] <math>\ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,S^+,S^-,D</math>, כאשר <math>\ S^+,S^-,D</math> הם הספרות המייצגות את 10,11,12 ה[[בסיס עשרוני|עשרוניים]] בהתאמה (ונמנעים מחזרה אינסופית על הספרה D בדומה לבסיס עשרוני בו נמנעים מהייצוג [[0.999...]] למספר 1).
* אם הייצוג של x בבסיס 13 הוא מהצורה <math>0.\ldots S^\pm a_1 a_2 \ldots a_n D b_1 b_2 \ldots</math>, כאשר שלוש נקודותהנקודות הראשונות מסמלות סדרת ספרות כלשהי, הסימון <math>\ S^\pm </math> מייצג את <math>\ S^+</math> או את <math>\ S^-</math> ולכל <math>\ i</math> האיברים <math>\ a_i, b_i</math> הם ספרות כלשהן מבין הספרותבטווח 10-9. אז:
**<math>\,f(x) = \pm a_1 a_2 \ldots a_n . b_1 b_2 \ldots</math>, כאשר זהו ביטוי בבסיסבכתיב עשרוניהעשרוני בו ה[[סימן (אריתמטיקה)|סימן]] נקבע לפי הסימן של S והנקודה באמצע (במקום של D) היא [[נקודה עשרונית]].
* לכל x אחר, <math>\ f(x) = 0 </math>.
הבחירה בבסיס 13 נעשתה מטעמי נוחות, כדי שהתוצאה הסופית תתקבל בבסיס עשרוני. ניתן באותהלהפעיל מידהאותה להשתמשהגדרה גםלכל בבסיסיםבסיס אחריםבן 5 ספרות ומעלה, ולקבל פונקציה בעלת תכונותאותן דומותתכונות.
==תכונות==
===על===
תכונה מרכזית של פונקציית הבסיס-13 של קונווי היא שבכל [[קטע]] בתחום הפונקציה, הפונקציה היא [[פונקציה על|על]] <math>\ \mathbb{R} </math>. כלומר ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של כל קטע היא [[הישר הממשי]] כולו והפונקציה מקבלת כל ערך אפשרי בכל קטע.
הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי בכל קטע המוכל בתחום ההגדרה שלה. אכן, יהי <math>\ [c,d] \subseteq (0,1)</math> קטע (המכיל יותר מנקודה אחת), ויהי <math> r \in \mathbb{R} </math>. נוכיחמספר כיממשי. קייםנבנה <math>\ c<e<d</math> כך ש-<math>\ f(e)=r</math>. נייצג את c,d בבסיס 13 ואת r בבסיס עשרוני:
:<math>\ r=\pm A_1A_2 \ldots A_n . B_1B_2 \ldots, c=0.X_1X_2 \ldots X_mC_1C_2 \ldots, d=0.X_1X_2 \ldots X_mD_1D_2 \ldots </math>
כאשר <math>\ X_i</math> הם האיברים המשותפים בתחילת ההצגה של c ו-d (אם ישנם כאלו). נשים לב כי קיים N כך ש-<math>\ C_N\ne D</math> (כי נמנעונמנענו מהצגות בהן יש חזרה אינסופית על D). עתה נבנה את <math>\ e</math>:
:<math>\ e=0.X_1X_2 \ldots X_mC_1C_2 \ldots C_{N-1}D S^\pm A_1 A_2 \ldots A_n D B_1 B_2 \ldots </math>
e קטן מ-d כי הייצוג שלו זהה לשל d עד הנקודה בה מתקיים <math>\ D_1>C_1</math> (מכיוון ש-d>c)., וכן eוהוא גדול מ-c כי הייצוג שלו זהה לו עד הנקודה בה מתקיים <math>\ C_N< D</math>.
לפי הגדרת הפונקציה, התמונה של e היא <math>\ f(e)=\pm A_1A_2 \ldots A_n . B_1B_2 \ldots = r</math>, כפי שרצינו. מכאן נובעת מיד תכונת דארבו, והפונקציה אינה יכולה להיות רציפה באף נקודה: היא מקבלת ערכים לא חסומים בכל [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]].
נחשב את התמונה של e:
:<math>\ f(e)=\pm A_1A_2 \ldots A_n . B_1B_2 \ldots = r</math>
על כן תמונת כל קטע המוכל בתחום של הפונקציה הוא כל הישר.
===תכונת דארבו===
הוכנו כי בין כל שתי נקודות הפונקציה מקבלת כל מספר ממשי, ובפרט היא מקבלת כל מספר בין הערכים של הנקודות. על כן הפונקציה היא פונקציית דארבו.
===אי רציפות===
מכיוון שבכל [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] של כל נקודה, הפונקציה רחוקה כרצוננו מערך הפונקציה בנקודה (שכן היא מקבל כל ערך בכל סביבה), הרי שלא קיים [[גבול של פונקציה|גבול]] לפונקציה באף נקודה והיא בהכרח אי רציפה בכל נקודה.
===התומך===
ה[[תומך (מתמטיקה)|תומך]] של פונקציית הבסיס-13 של קונוויי, היינו, קבוצת הנקודות S שבהן היא מקבלת ערך שונה מאפס, היא קבוצה מעניינת בפני עצמה., היאהדומה מוגדרתבתכונותיה בתורל[[קבוצת הקבוצה <math>\ S=\{x\in (0,1)|f(x)\ne0\}</math>קנטור]]. ה[[עוצמה]] של S היא [[עוצמת הרצף]] (כי f מתאימה אותה על הרצף) והיא [[קבוצה צפופה|צפופה]] בקטע (0,1). [[מידת לבג]] של S היא 0, כי היא חלקית לקובצת המספרים שאינם [[מספר נורמלי|נורמליים]] (כי בייצוג של כל איבר ב-S בבסיס 13 הספרות <math>\ S^+,S^-,D</math> מופיעות רק מספר סופי של פעמים), שלפי [[הלמה של בורל-קנטלי]] [[קבוצה ממידה אפס|מידתה אפס]]. מכאןמהגדרת הפונקציה נובע ש-S, בדומה ל[[קבוצת קנטור]], היא דוגמה לקבוצה שאינה [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]] שמידתה אפס. ניתן גם להראות כי S [[מידת בורל|מדידה במובן של בורל]].
==ראו גם==
* [[פונקציית ויירשטראס]] - דוגמה נגדית לטענה שכל פונקציה רציפה שאינה גזירה כמעט בכלבאף נקודה.
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות]]
| 