משפט האן-בנך – הבדלי גרסאות

הוכחת המשפט נעזרת ב[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של <math>\,f_0</math> החסומות ע"י <math>\,\rho</math> לתת-מרחב כלשהו <math>\ L_0 \subset L_\alpha \subset L</math> עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-<math>\,E</math>). זהו [[יחס סדר|מרחב סדור]] וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי [[הלמה של צורן]], קיים [[איבר מקסימלי]] ב-<math>\,E</math> שמהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל <math>\,L</math>.

עושים זאת באמצעות [[הוכחה בדרך השלילה|הוכחה על דרך השלילה]]. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-<math>\,E</math> מוגדרת על תת-מרחב <math>\ L' \subset L</math>, כאשר <math>\ L' \ne L</math>. אזי קיים <math>\ y \in L - L'</math> ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על-ידי <math>\ \rho</math>, המוגדרת כעל-ידי:

כאשר <math>\ z = x + \lambda y</math> פירוק יחיד של <math>\,z</math> כאשר <math>\ x \in L'</math> ו-<math>\,f'</math> הוא ההרחבה המקסימלית על <math>\,L'</math> (והם איברי המשפחה <math>\,E</math>). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך <math>\ f'(y) = y'</math> כך שלכל <math>\,z</math> בתחום ההגדרה יתקיים <math>\ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) </math>. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א ([[חסם עליון]]) ושימוש בתכונותיה של [[פונקציה תת-לינארית]] אפשר להראות שקיים '<math>\,y'</math> כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-<math>\,f'</math> מ-<math>\,L'</math> לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-<math>\,E</math>.