משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל $\ f_{0}$ מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט

יהי $\,L$ מרחב בנך מעל השדה $\,F$ (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב $\ L_{0}\subset L$, ופונקציה תת-ליניארית $\ \rho :L\rightarrow {\mathbb {R} }$ (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי $\ f_{0}:L_{0}\rightarrow F$ החסום על ידי $\ \rho$ (כלומר: $\ |f_{0}(x)|\leq \rho (x)$ לכל $\ x\in L_{0}$) אפשר להרחיב לפונקציונל $\ f:L\rightarrow F$ שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

1. $\ \forall x\in L_{0}\ :\ f(x)=f_{0}(x)$ (כלומר: $\ f$ הוא אכן הרחבה של $\ f_{0}$).
2. $\ \forall x\in L\ :\ |f(x)|\leq \rho (x)$ (כלומר: $\ f$ חסום גם כן על ידי $\,\rho$).

מסקנות ושימושים

• קיום הרחבה שומרת נורמה:

אם $\ L$ הוא מרחב בנך ו-$\ M$ הוא תת-מרחב שלו, ואם $f_{0}:M\to \mathbb {R}$ הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על $\ M$, אזי קיימת לו הרחבה $f:L\to \mathbb {R}$ רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: $\|f_{0}\|_{L_{0}^{*}}=\|f\|_{L^{*}}$. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: $\ f_{0}(x)\leq \|f_{0}\|_{*}\cdot \|x\|$, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, $\,\mathbb {R}$ הוא אובייקט אינג'קטיבי.

• משפט ההפרדה בין נקודות:

$\ \forall x_{0}\neq 0\ :\ \exists f_{0}\neq 0\ {\mbox{bounded functional}}\,\ {\mbox{such that}}\ :\ \ f_{0}(x_{0})=\|f_{0}\|\cdot \|x_{0}\|\neq 0$.

בפרט, אם נגדיר $\ x_{0}=x_{1}-x_{2}$ עבור $\ x_{1}\neq x_{2}$ אזי נקבל שקיים פונקציונל $\ f_{0}\neq 0$ כך ש $\ f_{0}(x_{1})\neq f_{0}(x_{2})$. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.

• משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:

יהי $\ L$ מרחב בנך ויהי $\ M$ הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי $\ z\notin {\overline {M}}$ נקודה שאיננה בסגור של $\ M$, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) $\ f:M\to \mathbb {R}$ כך ש:

1. $\ \forall x\in M\ :\ f(x)=0$ ,
2. $\ f(z)=1$
3. ומתקיים ש $\ \|f\|=(\|z\|)^{-1}$

הוכחת המשפט

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של $\,f_{0}$ החסומות על ידי $\,\rho$ לתת-מרחב כלשהו $\ L_{0}\subset L_{\alpha }\subset L$ עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-$\,E$). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-$\,E$ שמהווה הרחבה של $\,f_{0}$ המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל $\,L$.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-$\,E$ מוגדרת על תת-מרחב $\ L'\subset L$, כאשר $\ L'\neq L$. אזי קיים $\ y\in L-L'$ ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי $\ \rho$, המוגדרת על ידי:

$\ \forall z\in {\mbox{span}}\left(L'\cup \{y\}\right)\ :\ f(z)=f(x+\lambda y)=f'(x)+\lambda y'$

כאשר $\ z=x+\lambda y$ פירוק יחיד של $\,z$ כאשר $\ x\in L'$ ו-$\,f'$ הוא ההרחבה המקסימלית על $\,L'$ (והם איברי המשפחה $\,E$). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך $\ f'(y)=y'$ כך שלכל $\,z$ בתחום ההגדרה יתקיים $\ f'(x)+\lambda y'=f(z)\leq \rho (z)$. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים $\,y'$ כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-$\,f'$ מ-$\,L'$ לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-$\,E$.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של $\,E$, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-$\,E$, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של $\,E$ מוגדר היטב על כל $\,L$ ומהווה הרחבה של $\,f_{0}$ המקיימת את הנדרש. $\blacksquare$

ראו גם

• אנליזה פונקציונלית
• פונקציונל, פונקציה תת-ליניארית

קישורים חיצוניים

• משפט האן-בנך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• משפט האן-בנך, באתר MathWorld (באנגלית)