פתיחת התפריט הראשי

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד באופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

תוכן עניינים

המשפטעריכה

יהי   מרחב בנך מעל השדה   (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב  , ופונקציה תת-ליניארית   (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי   החסום על ידי   (כלומר:   לכל  ) אפשר להרחיב לפונקציונל   שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

  1.   (כלומר:   הוא אכן הרחבה של  ).
  2.   (כלומר:   חסום גם כן על ידי  ).

מסקנות ושימושיםעריכה

  • קיום הרחבה שומרת נורמה:
אם   הוא מרחב בנך ו-  הוא תת-מרחב שלו, ואם   הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על  , אזי קיימת לו הרחבה   רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר:  . זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר:  , ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך,   הוא אובייקט אינג'קטיבי.
  • משפט ההפרדה בין נקודות:
 .
בפרט, אם נגדיר   עבור   אזי נקבל שקיים פונקציונל   כך ש  . כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
  • משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
יהי   מרחב בנך ויהי   הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי   נקודה שאיננה בסגור של  , אזי קיים פונקציונל רציף (חסום)   כך ש:
  1.   ,
  2.  
  3. ומתקיים ש  

הוכחת המשפטעריכה

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של   החסומות על ידי   לתת-מרחב כלשהו   עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב- ). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-  שמהווה הרחבה של   המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל  .

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-  מוגדרת על תת-מרחב  , כאשר  . אזי קיים   ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי  , המוגדרת על ידי:

 

כאשר   פירוק יחיד של   כאשר   ו-  הוא ההרחבה המקסימלית על   (והם איברי המשפחה  ). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך   כך שלכל   בתחום ההגדרה יתקיים  . באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים   כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-  מ-  לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב- .

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של  , וניתן לראות בקלות שגם היא ב- , נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של   מוגדר היטב על כל   ומהווה הרחבה של   המקיימת את הנדרש.  

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה