משפט ליוביל (קירוב דיופנטי) – הבדלי גרסאות

'''משפט'''.: כל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי.

'''הוכחה'''.: נניח בשלילה שמספר ליוביל <math>\ x</math> הוא אלגברי, ממעלה n. הוכחנו שהוא אינו רציונלי, ולכן, לפי הלמה, קיימים <math>\ A, n</math> כך שלכל <math>\ p/q</math> מתקיים <math>\ \left\vert x - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} </math>. נבחר <math>\ m</math> כך ש-<math>\ 1/2^m<A</math>. לפי הגדרת מספר ליוביל קיים <math>\ p/q</math> כך שמתקיים <math>\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^{m+n}}=\frac1{q^mq^n} \le \frac1{2^m}\frac1{q^n} \le \frac A{q^n} </math>, וזו סתירה ללמה.