קריטריון אייזנשטיין – הבדלי גרסאות

(הוכחה למקרה של פולינום בעל מקדמים שלמים). נתבונן ב-<math>\ f(x)</math> כפולינום מודולו <math>\ p</math>, כלומר נעתיק את המקדמים ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ Z_{p}</math>. מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב-<math>\ p</math> נקבל את הפולינום <math>\ cx^{n}</math> עם מקדם כלשהו שונה מאפס <math>\ c</math>. [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] שניתן לפרק את <math>\ f</math> לשני פולינומים <math>\ g</math> ו-<math>\ h</math> שהמכפלה שלהם שווה ל-<math>\ f</math> ונקבל ש-<math>\ h\equiv ax^{k}\,, g\equiv bx^{n-k} (\operatorname{mod}\, p)</math>. מכאן שהמקדם החופשי של <math>\ h</math> ושל <math>\ g</math> מחלק את <math>\ p</math> ולכן המקדם החופשי של המכפלה צריך לחלק את <math>\ p^{2}</math> בסתירה להנחה.