גאומטריה לא-אוקלידית – הבדלי גרסאות

לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל [[גאומטריה]] שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. אחריו הגיעו לרעיון, באופן בלתי תלוי, המתמטיקאי הרוסי [[ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי]] וקצין הצבא ההונגרי [[יאנוש בויאי]]. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, ה'''[[גאומטריה היפרבולית|גאומטריה ההיפרבולית]]''', אומרת שדרך [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] מחוץ ל[[ישר]] עוברים [[אינסוף]] [[ישרים מקבילים]] לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, ה'''[[גאומטריה פרויקטיבית|גאומטריה הפרויקטיבית]]''' וה'''[[גאומטריה כדורית|גאומטריה הכדורית]]''', שאותה פיתח [[ברנרד רימן]], תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.