הלמה של צורן – הבדלי גרסאות

נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג עם יחידה קיים [[אידאל מקסימלי]]. יהי ''R'' חוג עם יחידה, ותהי ''P'' קבוצת כל האידאלים האמיתיים ב''R'', סדורה על ידי יחס ההכלה. ''P'' אינה ריקה שכן אידאל האפס שייך ל''P''. נניח ש-<math>\,a_1 \subseteq a_2 \subseteq \dots \subseteq a_n \subseteq \dots</math> שרשרת עולה של אידאלים ב''R''. יהי <math>\,a=\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i</math>. בבירור מתקיים <math>\,a_i\subseteq a</math> לכל ''i''. כאיחוד עולה של אידאלים, ''a'' הוא אידאל ב''R''. יתר על כן, מכיוון שלכל ''i'' מתקיים ש <math>\,1 \notin a_i</math>, הרי ש <math>\,1\notin a</math>, ולכן <math>\,a\ne R</math>, ולכן <math>\,a\in P</math>. קיבלנו ש''a'' הוא חסם מלעיל לשרשרת הנתונה, ולכן תנאיי הלמה של צורן מתקיימים. לפיכך יש ל''P'' לפחות איבר מקסימלי אחד ''m'', ולכן ''m'' הוא אידאל מקסימלי ב''R''.