עקומה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) |
|||
שורה 23:
ב[[מרחב מטרי]] X אורך של עקומה <math>\gamma : [a,b] \to X</math> מוגדר על ידי
: <math>\textrm{length}(\gamma) = \ell (\gamma) = \sup \left\{ \sum_{k=0}^{n} d( \gamma(t_k) , \gamma ( t_{k+1} ) ) \right\}</math>
כאשר ה[[סופרמום]] רץ על כל <math>n \in \mathbb{N}</math> ועל כל <math>a=t_0 < t_1 < ... < t_n < t_{n+1} = b</math> חלוקה של הקטע [a,b]. זהו למעשה הסופרמום של אורכי העקומות הפוליגוניות (עקומות המורכבות ממספר סופי של קווים ישרים) המקרבות את העקומה.
אם העקומה <math>\ \gamma (t)</math> גזירה ברציפות ורגולרית, אפשר לחשב את אורך העקומה לפי הנוסחה הבאה:
: <math>\ell (\gamma)=\int_a^b \| \gamma '(t) \| \, dt</math>
במקרה שהעקומה נתונה כ[[גרף]] של [[פונקציה רציפה]] <math>y = f(x)</math>
: <math>\ell = \int_a^b d \ell = \int_a^b \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \int_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx </math>
לנוסחה זו אפשר להגיע באופן [[ריגורוזי]]
== פרמטריזציה טבעית ==
| |||