עקרון הסדר הטוב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הפניה לדף אינדוקציה מתמטית |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
{{בעבודה}}
{{פירוש נוסף|נוכחי=קיומו של [[סדר טוב]] על המספרים הטבעיים|אחר=קיומו של סדר טוב על כל קבוצה שהיא|ראו=[[משפט הסדר הטוב]]}}
ב[[מתמטיקה]], '''עקרון הסדר הטוב''' קובע שה[[סדר חלקי|סדר]] הסטנדרטי על ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] הוא [[סדר טוב]]. משמע שבכל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] של מספרים טבעיים יש [[חסם (מתמטיקה)|מספר מינימלי]] (מספר ראשון). העקרון שקול ל[[אקסיומת האינדוקציה]], ולעתים בוחרים להגדירו כ[[אקסיומה]] במקום אקסיומת האינדוקציה.
==שקילות לאקסיומת האינדוקציה==
אקסיומת האינדוקציה קובעת שאם <math>1 \in T</math>, ולכל <math>n \in T</math> מתקיים <math>n+1 \in T</math>, אז <math>T=\mathbb{N}</math>. נוכיח האקסיומה שקולה לעקרון הסדר הטוב.
ראשית נוכיח את אקסיומת האינדוקציה על סמך עקרון הסדר הטוב. תהי <math>T</math> קבוצה של טבעיים כך ש-<math>1 \in T</math>, ולכל <math>n \in T</math> מתקיים <math>n+1 \in T</math>. נבחן את הקבוצה <math>\mathbb{N}\setminus T</math> הכוללת את כל הטבעיים שאינם ב-<math>T</math>. [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קבוצה זו אינה ריקה. לפי עקרון הסדר הטוב ב-<math>\mathbb{N}\setminus T</math> יש מספר מינימלי <math>m</math>. <math>1 \in T</math>, ולכן <math>m \ne 1</math>. מהמינימליות של <math>m</math> נובע <math>m-1 \not\in \mathbb{N}\setminus T</math>, כלומר <math>m-1 \in T</math>. לכן לפי ההנחה על <math>T</math> מתקבלת הסתירה <math> (m-1)+1 = m \in T</math>. מכאן ש-<math>\mathbb{N}\setminus T</math> ריקה, ו-<math>T=\mathbb{N}</math>.
| |||