ויקיפדיה

אי-שוויון (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Luckas-bot (שיחה | תרומות)
179,857 עריכות
מ r2.7.1) (בוט מוסיף: nn:Ulikskap i matematikk
שדדשכ (שיחה | תרומות)
8,258 עריכות
מ אחידות
שורה 3:
אי-שוויון הוא [[יחס סדר מלא]]. סימני ה[[יחס בינארי|יחס]] המתארים אי-שוויון הם <math>\ <, >, \leq, \geq</math>, שמשמעותם: "a גדול מ-b" (<math>\ a>b</math> או <math>\ b<a</math>) או "a גדול מ-b או שווה לו" (<math>\ a\geq b</math> או <math>\ b \leq a</math>). סימנים אלו עשויים לתאר לא רק את יחס הסדר המקובל בין מספרים, אלא גם [[יחס סדר|יחסי סדר]] אחרים.
 
==פעולות באי-שוויוניםשוויונות==
 
יחס הסדר על [[הישר הממשי]] הוא [[יחס סדר לינארי|לינארי]], כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון: <math>\ a<b</math>,
<math>\ a=b</math> או <math>\ a>b</math>. בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).
 
משוואות כמו <math>\ 2x+4y=6, x-5y=0</math> אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויוניםשוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:
# אם <math>\ a<b</math> אז לכל c, <math>\ a+c<b+c</math>;
# אם <math>\ a<b</math> ו-<math>\ d</math> חיובי, אז גם <math>\ ad<bd</math>; אם <math>\ d</math> שלילי, אז <math>\ ad>bd</math>;
# אם <math>\ a<b</math> וידוע ש<math>\ b</math> ,<math>\ a</math> חיוביים, אז גם <math>\ a^2<b^2</math>.
החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון אי-השוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויוניםשוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על אי-השוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).
 
 
שורה 19:
# אם <math>\ a<b</math> ו- <math>\ 0<c<d</math> אז <math>\ ac<bd</math>.
 
== מערכת של אי-שוויוניםשוויונות לינאריים ==
 
ה[[אלגברה לינארית|אלגברה הלינארית]] עוסקת במערכות של משוואות לינאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויוניםשוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויוניםהשוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה לינארית מגבילה את הפתרון ל[[על-מישור]] (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויוניםשוויונות מגדירה [[פאון]] (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות [[קבוצה ריקה|ריק]] אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות ב[[תכנון לינארי]].
 
כדי שלמערכת של משוואות לינאריות (כמו <math>\ x+y=1, x+z=1, z-y=6</math>) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות [[תלות לינארית]] בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויוניםשוויונות
<math>\ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j>0</math>
(<math>\ i=1,\dots,m</math>) לא יהיה פתרון, מוכרח להיות [[צירוף לינארי]] עם מקדמים חיוביים של אי-השוויוניםהשוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים <math>\ b_1,\dots,b_m\geq 0</math>, שאינם כולם אפס, כך ש- <math>\ \sum_{i=1}^{m} b_i(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)=0 </math>.
 
== הכללה ==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/אי-שוויון_(מתמטיקה)"