חבורה חופשית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שש"מ |
|||
שורה 4:
בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על ידי מלה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט ל[[בעית המלה (תורת החבורות)|בעית המלה]] ו[[בעיה הצמידות (תורת החבורות)|בעית הצמידות]].
אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]], אז החבורות <math>\ \langle X\rangle</math> ו- <math>\ \langle Y\rangle</math> [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיות]] זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- <math>\ \mathbb{F}_n</math>. מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא ה'''דרגה''' של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית <math>\ F</math> מסמנים ב- <math>\ rank(F)</math>. כך למשל <math>\ rank(\mathbb{F}_n)=n</math>.
המשפט הראשון בתחום הנקרא היום [[תורת החבורות הקומבינטורית]] הוא [[משפט שרייר]] (Schreier), הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה לא טריביאלית תמיד '''גדולה''' מזו של החבורה. אם <math>\ H \leq F</math> הן חבורות חופשיות, אז היחס <math>\ \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1}</math> שווה ל[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] של H ב- F.
| |||