פונקציית דלתא של דיראק – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Atavory~hewiki (שיחה | תרומות) מ ←קישורים חיצוניים: תיקון הקישור לויקיספר |
MathKnight (שיחה | תרומות) מ ←תכונות: עיצוב |
||
שורה 65:
כמו כן היא [[פונקציות זוגיות ואי-זוגיות|פונקתיה זוגית]]: <math>\ \delta(x) = \delta(-x)</math>.
באמצעות [[החלפת משתנים]] ב[[שיטות אינטגרציה|אינטגרציה]] ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש- <math>\ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)</math>.
: ''הוכחה:'' נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם <math>-a</math> כארגומנט הפונקציה). כעת,
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (ax) dx = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(y/|a|) \delta (y) dy = \frac{1}{|a|}f(0)</math> כאשר ביצענו את החלפת המשתנים <math>y=ax</math>. {{כ}} <math>\ \blacksquare</math>
באופן כללי יותר מתקיים ש-
: <math>\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math>
שורה 76 ⟵ 77:
</math>
כאשר x<sub>i</sub> הם ה[[שורש (של פונקציה)|שורשים]] של g, כלומר: <math>\ g(x_i)=0</math>.
: ''הוכחה:'' מאחר שבכל [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] I בו <math>g(x) \neq 0</math> האינטגרל <math>\int_I f(x) \delta( g(x)) dx = 0</math> אפשר להפריד את האינטגרל לסדרה אינטגרלים על קטעים קטנים כרצוננו סביב שורשי g, כלומר:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (g(x)) dx = \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g(x)) dx</math>
: מאחר שהקטעים קטנים כרצוננו, אפשר בכל קטע ל[[קירוב|קרב]] את g על ידי [[קירוב לינארי]]: <math>g(x) = g'(x_i)(x-x_i)</math>. נציב זאת באינטגרל ונשתמש בתכונה <math>\ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)</math>, נקבל
: <math>\sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g(x)) dx = \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta \Big( g'(x_i)(x-x_i) \Big) dx = \sum_{i} \frac{1}{|g'(x_i)|} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (x-x_i) dx = \sum_i \frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}</math>
: כנדרש. <math>\ \blacksquare</math>
| |||