אופרטור הרמיטי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) ←יישומים: הרחבה |
MathKnight (שיחה | תרומות) ←דוגמאות: הרחבה |
||
שורה 70:
# יהי <math>\mathbb{H} = \mathbb{R}^2</math>, אזי כל מטריצה סימטרית A היא אופרטור הרמיטי. שכן,
#: <math> \langle \mathbf{r}_1 , A \mathbf{r}_2 \rangle = \left[ x_1 \ y_1 \right] A \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \left( A^t \left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right] \right)^t \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \langle A^t \mathbf{r}_1 , \mathbf{r}_2 \rangle = \langle A \mathbf{r}_1 , \mathbf{r}_2 \rangle </math>
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> הצמוד ההרמיטי של <math>A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right]</math> הוא <math>A^* = \bar{A}^t = \left[ \begin{matrix} \bar{a}_{11} & \bar{a}_{21} \\ \bar{a}_{12} & \bar{a}_{22} \end{matrix} \right]</math>.
# יהי <math>\mathbb{H} = C^{2}(I) \cap L^2(I)</math> מרחב הפונקציות הממשיות ה[[נגזרת|גזירות]] פעמיים ברציפות ו[[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] בריבוע שמתאפסות בקצות ה[[קטע]] I, עם [[מכפלה פנימית]] <math>\langle f , g \rangle = \int_{I} f(x)g(x)dx</math>, אזי <math>\frac{d^2}{dx^2}</math> הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן▼
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> [[מטריצות פאולי|מטריצת פאולי]] <math>\sigma_y = \left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right]</math> היא מטריצה הרמיטית.
▲# יהי <math>\mathbb{H} = C^{2}(I) \cap L^2(I)</math> מרחב הפונקציות הממשיות ה[[נגזרת|גזירות]] פעמיים ברציפות ו[[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] בריבוע שמתאפסות בקצות ה[[קטע]] <math>I \subset \mathbb{R}</math>, עם [[מכפלה פנימית]] <math>\langle f , g \rangle = \int_{I} f(x)g(x)dx</math>, אזי <math>\frac{d^2}{dx^2}</math> הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן
#: <math>\langle \frac{d^2 f}{dx^2} , g \rangle = \int_{I} \left( \frac{d^2 f}{dx^2} \right) g(x) dx = - \int_{I} \left( \frac{d f}{dx}
\right) \left( \frac{d g}{dx} \right) dx = \int_{I} f(x) \frac{d^2 g}{dx^2} dx = \langle f , \frac{d^2 g}{dx^2} \rangle </math> (השתמשנו פעמיים ב[[אינטגרציה בחלקים]])
| |||