אופרטור צמוד – הבדלי גרסאות

אם U,V,W מרחבים וקטוריים ו- <math>\ T : V \rightarrow W,\, S : W \rightarrow U</math> העתקות, אז <math>\ (ST)^* = T^*S^*</math> משום ש-<math>\ ((ST)^*g)(v) = g(STv)=S^*g(Tv)=(T^*(S^*g))(v)</math>, ולכן <math>\ (ST)^* = T^*S^*</math>.

בדומה לזה מוגדר הצמוד של הצמוד, <math>\ T^{**} : V^{**} \rightarrow W^{**}</math>, לפי <math>\ (T^{**}\varphi)(f) = \varphi(T^*f)</math>. כל מרחב וקטורי V משוכן באופן טבעי במרחב הדואלי לדואלי שלו, <math>\ V^{**}</math>, כאשר מפרשים וקטור v כפעולה <math>\ V^* \rightarrow F</math> המוגדרת לפי <math>\ v(f) = f(v)</math>. תחת הפירוש הזה, <math>\ T^{**}</math> מתלכד עם T בכל מקום שבו האחרון מוגדר, משום ש-<math>\ (T^{**}v)(f) = v(T^*f)=(T^*f)(v)=f(Tv)=(Tv)(f)</math> לכל <math>\ f : W \rightarrow F</math>.