משפט וילסון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
←המשפט ההפוך: הרחבה מאנגלית |
||
שורה 19:
== המשפט ההפוך ==
נוכיח גרסה חזקה של ה[[משפט הפוך|משפט ההפוך]] של משפט וילסון. במקרה n=4, <math>(4-1)!+1 = 7</math> אינו מתחלק ב-4. נראה כי אם <math>\ 4<n</math> [[מספר פריק]], אז n מחלק את <math>\ (n-1)!</math>. נבחר [[מחלק]] אמיתי של n, <math>\ 1<a<n</math>. אם a ה[[שורש ריבועי|שורש הריבועי]] של n, אז <math>2<a</math> (כי <math>\ 4<n</math>), ומכאן ש-<math>2a<a^2=n</math>. מכיוון שהן a והן 2a קטנים מ-n הם כלולים במכפלה <math>\ (n-1)!</math>, ובפרט מכפלה זו מתחלקת במכפלתם <math>\ 2a^2 = 2n</math>, ולכן n מחלק את <math>\ (n-1)!</math>. אם a אינו שורש של n, אז הוא שונה מ-<math>n/a<n</math>, ולכן מכפלתם, n, מחלקת את <math>\ (n-1)!</math>.
==הכללה==
[[קארל פרידריך גאוס]] הוכיח את ה[[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] הבאה למשפט: לכל m>2,
:<math>
\prod_{k = 1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m} \!\!k \ \equiv
\begin{cases}
-1 \pmod{m} & \text{if } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\
\;\;\,1 \pmod{m} & \text{otherwise}
\end{cases}
</math>
כש-p הוא ראשוני אי-זוגי, ו-<math>\alpha</math> הוא שלם חיובי.
== ראו גם ==
| |||