מספר p-אדי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בעבודה |
←הגישה האלגברית: הרחבה |
||
שורה 36:
== הגישה האלגברית ==
{{בעבודה}}
ניתן להגדיר מספר
: <math>x = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) = (x_n)_{n=1}^{\infty}</math>
כך שלכל <math>n \ge 1</math> :<math>x_n \in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p. כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:
*או באופן שקול <math> x + p^n \mapsto x + p^{n-1} </math>.
נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת [[גבול הפוך]] או [[גבול פרויקטיבי]]. עבור p ראשוני נתוך, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים <math>\mathbb{Z}_p</math>. אפשר להפוך קבוצה זו ל[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:
* חיבור: <math>x + y = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) + \left( ... , y_n , ... , y_1 \right) = \left( ... , x_n + y_n , ... , x_1 + y_1 \right)</math>
* כפל: <math>x \cdot y = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) \cdot \left( ... , y_n , ... , y_1 \right) = \left( ... , x_n y_n , ... , x_1 y_1 \right)</math>
למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: <math>x_n + y_n \ , \ x_n \cdot y_n \in \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}</math>).
==שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים==
| |||