השערת הרצף – הבדלי גרסאות

ב-1943 הוכיחו [[פאול ארדש]] ושיזו קקוטני{{הערה|On non-denumerable graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943). 457–461.}} שהשערת הרצף נכונה אם ורק אם אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מניה של קבוצות, שכל אחת מהן כוללת [[תלות (אלגברה לינארית)|קבוצה בלתי תלויה]] מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מניה של צבעים, כך שלמשוואה <math>\ xw+yx=zy+uz</math> לא קיים פתרון במספרים ממשיים שווי-צבע ושונים.