סדר (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) |
|||
שורה 9:
==סדר של איבר בחבורה==
בהינתן חבורה <math>\,\! G</math> ואיבר כלשהו <math>\,\! g\isin G</math>, הסדר של <math>\,\! g</math> שמסומן <math>\,\! o(g)</math> הוא ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] הטבעית הקטנה ביותר <math>\,\! n</math> של <math>\,\! g</math> שעבורה <math>\,\! g^n=e</math>, ה[[איבר אדיש|איבר האדיש]] בחבורה. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהסדר של <math>\,\! g</math> הוא אינסופי, ונסמן <math>\,\! o(g)=\infty</math>. הסדר של איבר בחבורה הוא הסדר של ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] הנוצרת על ידי האיבר, ומכאן הקשר בין סדר של איבר לסדר של חבורה.
מסקנה אחת ממשפט לגראנז' מקשרת בין מושג הסדר של החבורה לסדר של איבר בחבורה - כאשר סדר החבורה סופי, הסדר של איבר בחבורה מחלק תמיד את סדר החבורה. נראה זאת: תהא <math>\,\! G</math> חבורה סופית ויהא <math>\,\! g\isin G</math> מסדר סופי. נביט בתת-החבורה [[חבורה ציקלית|הציקלית]] <math>\,\! \langle g\rangle</math> הנוצרת על ידי <math>\,\! g</math>. סדר תת-החבורה הזו הוא בדיוק הסדר של <math>\,\! g</math>, כי החל מ<math>\,\! g^n</math> מתחילים איברי החבורה לחזור על עצמם. על פי משפט לגראנז', סדר החבורה הזו מחלק את סדר <math>\,\! G</math>.
| |||