קריטריון אייזנשטיין – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←הוכחה: מניעת התבלבלות עם חוג השלמים ה-p-אדיים |
←דוגמאות: הוספת דוגמה טריוויאלית אבל חשובה |
||
שורה 15:
==דוגמאות==
1. יהי p ראשוני, אזי <math>f(x) = x^n - p</math> מקיים את קריטריון אייזנשטיין ולכן הוא אי-פריק.
1. הדרך הקלה להוכיח ש[[פולינום ציקלוטומי|הפולינום הציקלוטומי]] <math>\ f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots + x+1</math> אי פריק כאשר p ראשוני, היא להבחין ש- <math>\ f(x+1)</math> מקיים את קריטריון איזנשטיין עבור p. ▼
▲
2. נתבונן ב- <math>\ g(x)=3x^{4}+15x^{2}+10</math>. הגורם המשותף של המקדמים 10 ו- 15 הוא ראשוני, 5. מכיוון ש-5 איננו מחלק את 3, המקדם המוביל ו- <math>\ 5^{2}=25</math> איננו מחלק את 10, המקדם האחרון - הפולינום עונה על התנאי ולכן הוא אי פריק מעל השלמים.▼
▲
3. במקרים מסוימים קשה לדעת באיזה מספר ראשוני לבחור, אבל לעתים לגלות זאת על ידי הצבת ''y'' = ''x'' + ''a'' במה שנקרא לעתים ''הזזה''.▼
▲
התבוננו לדוגמה בפולינום <math>\ h(x)=x^{2}+x+2</math>. נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של ''x''. אבל, אם נציב <math>\ x+3</math>, נקבל את הפולינום <math>\ h(x+3)=x^{2}+7x+14</math>, אשר מקיים את הקיטריון עבור המספר הראשוני 7. כלומר, על ידי הזזת הפולינום הצלחנו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.
| |||