אובייקט התחלתי ואובייקט סופי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←דוגמאות: הרחבה |
מ ←דוגמאות: עיצוב |
||
שורה 16:
* בקטגוריית ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] <math>\mathcal{C}=\mathbf{Sets}</math> האובייקט ההתחלתי הוא הקבוצה הריקה, ואילו כל קבוצה בת איבר אחד היא אובייקט סופי (שכן לכל קבוצה ''X'' ישנה העתקה יחידה <math>X \to \{a \}</math> וזו הפונקציה השולחת כל איבר מ-''X'' ל-''a'').
* בקטגוריית ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] <math>\mathcal{C}=\mathbf{Grps}</math> החבורה הטריוויאלית <math>\{ e \}</math> (כלומר: החבורה שמורכבת רק מ[[איבר יחידה|איבר היחידה]]) היא אובייקט התחלתי (שכן [[הומומורפיזם]] של חבורות שולח יחידה ליחידה) ואובייקט סופי, ולכן אובייקט אפס.
* [[מכפלה (תורת הקטגוריות)]] <math>A \times B</math> של עצמים <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> היא אובייקט סופי בקטגוריה <math>\left\{ (P, \alpha : P \to A , \beta : P \to B ) \ | \ P \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}), \alpha \in \mathrm{Mor}(P,A), \beta \in \mathrm{Mor}(P,B) \right\}</math> של שלשות המורכות מעצם ושני מורפיזמים ל-A ו-B. כלומר, אם <math>A \times B = (P, \alpha : P \to A , \beta : P \to B )</math>, אזי לכל עצם D עם מורפיזמים <math>\alpha' : D \to A</math> ו-<math>\beta' : D \to B</math> קיים מורפיזם יחיד <math>f : D \to P</math> כך ש-<math>\alpha' = \alpha \circ f</math> ו-<math>\beta' = \beta \circ f</math>.▼
בעזרת אובייקטים התחלתיים אפשר להגדיר אובייקטים בניות נוספים, למשל [[מכפלה (תורת הקטגוריות)]]. [[מכפלה (תורת הקטגוריות)|מכפלה <math>A \times B</math>]] של עצמים <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> היא אובייקט סופי בקטגוריה
: <math>\mathcal{C}_{A,B} = \left\{ (P, \alpha : P \to A , \beta : P \to B ) \ | \ P \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}), \alpha \in \mathrm{Mor}(P,A), \beta \in \mathrm{Mor}(P,B) \right\}</math>
▲
[[קטגוריה:תורת הקטגוריות]]
| |||