יעקוביאן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ r2.7.3) (בוט מוסיף: sr:Јакобијан |
מ הגהה |
||
שורה 9:
תהא <math>\ F=(f_1,\ldots,f_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math> פונקציה כלשהי שכל [[נגזרת חלקית|הנגזרות החלקיות]] שלה קיימות. אז מטריצת יעקובי שלה היא ה[[מטריצה]] מסדר <math>\ m\times n</math> הבאה:
:<math>\begin{bmatrix} \partial f_1 / \partial x_1 & \cdots & \partial f_1 / \partial x_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial f_m / \partial x_1 & \cdots & \partial f_m / \partial x_n
כלומר, בכל שורה מופיעות כל הנגזרות החלקיות של אחת מפונקציות הרכיבים. ניתן לראות זאת גם כך: מטריצת יעקובי היא [[וקטור עמודה]] שמכיל את ה[[גרדיאנט
היעקוביאן הוא הדטרמיננטה של המטריצה הזו, במקרה שבו <math>\ m=n</math> (זאת מכיוון שדטרמיננטה מוגדרת רק עבור [[מטריצה ריבועית|מטריצות ריבועיות]]). לרוב מסומנת מטריצת יעקובי כך:
שורה 40:
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\,
= 6 </math>
נחשב את הנפח באמצעות היעקוביאן
<math>\ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \left( \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3} \right) \, dx dy dz = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (u+w) \cdot |J(u,v,w)| du dv dw =
'''לסיכום''': כדי למצוא [[אינטגרל]] של פונקציה מסובכת, ניתן לחלק אותה למספר פונקציות קטנות. את הפונקציה הישנה יש להביע באמצעות הפונקציות החדשות ולהכפיל את הפונקציה החדשה שהתקבלה ביעקוביאן שלה וכמובן יש לעדכן את הגבולות של הפונקציה החדשה לפי הפונקצות הקטנות שהגדרנו.
[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
| |||