בסיס (אלגברה) – הבדלי גרסאות

נוספו 286 בתים ,  לפני 9 שנים
אין תקציר עריכה
מ (r2.7.2) (בוט מוסיף: ja:基底 (線型代数学))
אין תקציר עריכה
{{קואורדינטות}}
ב[[אלגברה לינארית]], קבוצה של וקטורים ב[[מרחב וקטורי]] נקראת '''בסיס''' אם היא מקיימת כמה הגדרות שקולות. הגדרה אחת לבסיס היא [[קבוצה פורשת]] [[תלות לינארית|בלתי תלויה לינארית]]. הגדרה שקולה לקבוצה שהיא בסיס, היא אם אפשר להציג כל איבר של המרחב כ[[צירוף לינארי]] של הווקטורים שלההקבוצה, באופן יחיד. לכלאפשר מרחבלהגדיר וקטוריבסיס ישגם בסיס,כ[[קבוצה ולכלפורשת]] שנימינימלית, בסיסיםכלומר שלכזו מרחבשאם וקטורימסירים ישממנה אותוולו גודלוקטור אחד, הנקראהיא '''ממד'''.כבר לבסיסיםאינה חשיבותפורשת; עקרוניתאו, באלגברהבאופן לינאריתשקול, בכך שבסיס קובע לכל וקטור אתכקבוצה [[וקטורתלות קואורדינטותלינארית|וקטורבלתי הקואורדינטותתלויה]] המתאים לו. לפיכךמקסימלית, בחירהכלומר שלכזו בסיסשאם מאפשרתיוסיפו 'לממש'לה עצמיםולו מופשטיםוקטור המתייחסיםאחד למרחבהיא (כגוןתפסיק [[העתקהלהיות לינארית]])בלתי על ידי מבנים קונקרטיים (כגון [[מטריצה]])תלויה.
 
לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ומספר הווקטורים שבבסיס מוגדר באופן חד-משמעי, והוא נקרא '''[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]]'''. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה לינארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור את [[וקטור קואורדינטות|וקטור הקואורדינטות]] המתאים לו. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון [[העתקה לינארית]]) על ידי מבנים קונקרטיים (כגון [[מטריצה]]).
אפשר לאפיין בסיס כ[[קבוצה פורשת]] מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת; או, באופן שקול, כקבוצה [[תלות לינארית|בלתי תלויה]] מקסימלית, כלומר כזו שאם יוסיפו לה ולו וקטור אחד היא תפסיק להיות בלתי תלויה.
 
בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על [[הלמה של צורן]], וממילא תוצאה זו דורשת את [[אקסיומת הבחירה]].