|
==גבול של תת-סדרה==
<math>l\,</math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> אם קיימת תת-סדרה של <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> המתכנסת ל-<math>l\,</math>. גםהגבולות אםהחלקיים הסדרהשל המקוריתסדרה אינהנקראים מתכנסת,'''נקודות תת-סדרההצטברות''' שלה. יכולהקבוצת להתכנסנקודות ההצטברות היא [[קבוצה סגורה]].
סדרה [[גבול של סדרה|מתכנסת]] (במובן הרחב) [[אם ורק אם]] כל הגבולות החלקיים שלה שווים. כך למשל הסדרה <math>\ a_n=3+\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנסת לאינסוףל-3, ולכן כל תת-סדרה שלה, למשל <math>\ b_n=2na_{n^2} = 3+\frac{1}{n}</math>, מתכנסת ל[[אינסוף]]לאותו מספר. דוגמה אחרת, היא הסדרה <math>\ c_n=4+(-1)^n+\frac{1}{n}</math> שמתבדרתמתבדרת, אולם תת-הסדרה שלה <math>\ d_n=(-1)^{2n}=1</math>, מתכנסת ל-1.
<math>\ d_n=c_{2n} = 5+\frac{1}{n}</math>, מתכנסת ל-5. לכן, אם ידוע שסדרה מתכנסת, אז אפשר לחשב את הגבול שלה דרך חישוב הגבול של תת-סדרה.
לכל סדרה יש לפחות גבול חלקי אחד, ממשיסופי או אינסופי. הסיבה לכך היא שאם מדוברהסדרה ב[[סדרה חסומה|חסומה]], אזי מ[[משפט בולצאנו-ויירשטראס]] נובע כיאז יש לה תת-סדרה מתכנסת לגבוללפי ממשי[[משפט בולצאנו-ויירשטראס]], ואם הסדרההיא אינה חסומה, הריאז שקלקל לבנות מאיבריה תת-סדרה שמתכנסת לגבול אינסופי.
===גבול עליון וגבול תחתון === ▼
כאמור, אם סדרה מתכנסת אז יש לה בדיוק גבול חלקי אחד, אבל אם היא מתבדרת אז יש לה לפחות שני גבולות חלקיים. הטענה כי מספר ממשי כלשהו הוא גבול חלקי של סדרה, שקולה לטענה כי בכל סביבה שלו, קטנה כרצוננו, קיימים אינסוף מאיברי הסדרה. כתוצאה משקילות זו, ניתן לקבוע שמספר הגבולות החלקיים של סדרה שווה בדיוק למספר הקטעים הזרים שכל אחד מהם מכיל אינסוף איברים מהסדרה.
▲==גבול עליון וגבול תחתון==
נעסוק בהגדרה של גבול עליון, וגבול תחתון מוגדר ומסומן באופן דומה.
גבול עליון של סדרה כלשהישל מוגדרמספרים להיותממשיים הגבולמוגדר כגבול החלקי המקסימליהגדול ביותר שלה. הגדרההגבול שקולההעליון להגדרהתמיד זוקיים היא(סופי או אינסופי). זהו הגבול של סדרת החסמים העליונים של זנבות הסדרה. באופן פורמלי: תהי <math>\ (a_n)</math> סדרה כלשהי. נגדיר סדרה חדשה <math>\ (b_m)</math> באופן הבא - <math>b_m=\sup\{a_m,a_{m+1},a_{m+2},...\}</math>. כלומר -
:<math>b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...\}</math>
:<math>b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\}</math>
:<math>b_3=\sup\{a_3,a_4,...\}</math>, וכן הלאה. אם הסדרה <math>\ (b_m)</math> מתכנסת ל-<math>L</math>, אז <math>L</math> הוא גבול עליון של <math>\ (a_n)</math>. ▼
:<math>b_3=\sup\{a_3,a_4,...\}</math>
:::<math>\vdots</math>
▲אם הסדרה <math>\ (b_m)</math> מתכנסת ל-<math>L</math>, אז <math>L</math> הוא גבול עליון של <math>\ (a_n)</math>.
נהוג לסמן גבול עליון <math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n</math> או <math>\overline{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n</math>.
לא לכל סדרה יש גבול עליון ותחתון, אולם אם מדובר ב[[סדרה חסומה]] אזי מ[[משפט בולצאנו-ויירשטראס]] נובע כי קבוצת הגבולות החלקיים שלה אינה ריקה. לא קשה לראות כי אם סדרה של גבולות חלקיים מתכנסת אז הגבול שלה הוא גבול חלקי בעצמו, ולכן בהכרח לסדרה חסומה יש גבול חלקי ממשי מקסימלי ומינימלי, משמע יש לה גבול עליון ותחתון.
== ראו גם ==
| 