כלל השרשרת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q207455 |
|||
שורה 29:
לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את <math>\lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}</math>
נניח קודם כל, כי יש סביבה של <math>x_0</math> בה מתקיים לכל x, <math>g(x) \neq g(x_0)</math>. נכפיל מונה ומכנה בביטוי <math>g(x) - g(x_0)</math> ונקבל:
<math>\lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}</math>
על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.
ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה <math>g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})</math> בנקודה <math>x_0 = 0</math> כיוון ששם, למרות שהפונקציה g גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש t בו <math>g(0) = g(t) = 0</math>. כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר Q. הערך של Q יהיה שונה מהמוכפל השמאלי רק במקרים בהם <math>g(x) = g(x_0)</math>:
:<math>Q(y) = \begin{cases}
\frac{f(y) - f(g(x_0))}{y - g(x_0)}, & y \neq g(x_0), \\
f'(g(x_0)), & y = g(x_0).
\end{cases}</math>
כעת נחשב את הגבול:
:<math>\lim_{x \to x_0} Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}</math>
חישוב זה ייתן לנו את התוצאה הרצוייה כיוון שמתקיים תמיד:
:<math>Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{ f( g(x)) - f (g(x_0))}{x - x_0}</math>
ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים - במקרה בו <math>g(x) = g(x_0)</math> שני צדדי המשוואה מתאפסים, ואחרת המכנה בהגדרת Q מצטמצם עם המונה בשבר הימני.
כיוון ש-f גזירה בנקודה <math>g(x_0)</math>, Q רציפה באותה נקודה, ולכן מתוך [[אריתמטיקה של גבולות]], נקבל את התוצאה הרצויה.
==דוגמה לשימוש בכלל==
| |||