ויקיפדיה

שדה המספרים הניתנים לבנייה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Nurick (שיחה | תרומות)
10,174 עריכות
מ ויקיזציה
אין תקציר עריכה
שורה 7:
לאחר שזיהינו את המישור עם [[שדה המספרים המרוכבים]], האוסף S של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של [[שדה המספרים המרוכבים]]. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב- S סגור ל[[חיבור]] ו[[חיסור]], ל[[כפל]] ולפעולת ההיפוך <math>\ x \mapsto 1/x</math>. מזה נובע ש-S (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור ל[[חיבור]] ו[[חיסור]]. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר [[זווית|זוויות]], וכך (על-פי [[נוסחאות דה-מואבר]]) מוכח ש-S סגור גם ל[[כפל]] ו[[חילוק]].
 
תכונה חשובה של השדה S היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת [[שורש (מתמטיקה)ריבועי|שורש]] (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-S שורש מ[[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי [[חוצה זווית|חציית זוויות]]). למעשה, S הוא תת-השדה הקטן ביותר של <math>\ \mathbb{C}</math> הסגור להוצאת שורש, כלומר ה[[שדה סגור ריבועית|סגור הריבועי]] של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל [[הרחבת גלואה]] של [[שדה המספרים הרציונליים]] מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] חזקת-2, ולהיפך: הממד של [[סגור גלואה]] של כל תת-שדה מממד סופי של S הוא חזקת-2. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת 2 (או שאינו [[מספר אלגברי]]), אינו שייך ל-S, ולכן אינו ניתן לבנייה.
 
== הבעיות של ימי קדם ==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/שדה_המספרים_הניתנים_לבנייה"