קבוצה קומפקטית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←פתיח: , הרחבה |
היסטוריה |
||
שורה 6:
במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא [[קבוצה סגורה|סגורה]] ו[[קבוצה חסומה|חסומה]]. [[משפט היינה בורל|משפט היינה-בורל]] קובע שבמרחבים האוקלידיים <math>\ \mathbb{R}^n</math>, גם ההיפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.
== היסטוריה ==
מושג הקומפקטיות הופיע בצורה מפורשת רק בתחילת המאה העשרים, אך ניצניו מצויים בהתפתחויות עיקריות באנליזה המתמטית מתחילת הרבע האחרון של המאה התשע-עשרה. ב-[[1817]] אפיין [[בולצאנו]] את [[תכונת החסם העליון]] של הממשיים, שעל בסיסה הוכיח [[ויירשטראס]] ב-[[1877]] את [[משפט בולצאנו-ויירשטראס]]: ל[[פונקציה רציפה]] בקטע סגור יש נקודת מקסימום. במקביל לגישה זו שחקרה את הממשיים באמצעות סדרות, התפתחה גישה הלומדת אותם באמצעות קטעים פתוחים. ב-[[1872]] הוכיח [[אדוארד היינה]] (1821-1881) שפונקציה רציפה בקטע סגור היא [[פונקציה רציפה במידה שווה|רציפה במידה שווה]] ([[דיריכלה]] הוכיח זאת כבר ב-[[1852]], אלא שהגרסה שלו לא פורסמה עד [[1904]]). בהמשך לעבודתו של היינה, הראה [[ארמנד בורל]] בעבודת הדוקטורט שלו ב[[1894]] שקטע סגור בממשיים הוא, במונחים מודרניים, קומפקטי. מושג הרציפות במידה שווה עמד ביסוד [[משפט ארצלה-אסקולי]] ([[1883]] ו-[[1893]]) על התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות רציפות.
[[מוריס פרשה]] היה זה שזיהה את החשיבות של הקומפקטיות כמושג עצמאי, ואף טבע את המונח ב[[1906]], כשהוא מגדיר מה שידוע היום כקומפקטיות יחסית (לקבוצה יש סגור קומפקטי). את ההגדרה המקובלת היום טבעו [[פבל אלכסנדרוף]] ו[[פבל סמואילוביץ' אוריסון]] ב-[[1923]] (בתחילה בשם "בי-קומפקטיות"). [[ניקולא בורבקי|בורבקי]] (בשנות הארבעים) כינה מרחבים קומפקטיים בשם קוואזי-קומפקטיים, כשהוא שומר את המונח עצמו למרחבים קומפקטיים [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]].
== כיסויים וקומפקטיות ==
שורה 61 ⟵ 67:
ההכללה של [[משפט קנטור (לרציפות במידה שווה)|משפט קנטור]] למרחבים מטריים קובעת כי:
* פונקציה רציפה במרחב מטרי קומפקטי, היא רציפה במידה שווה.
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}
== מקורות ==
* [http://arxiv.org/pdf/1006.4131v1.pdf היסטוריה של מושג הקומפקטיות].
{{טופולוגיה}}
| |||