חוג ארטיני – הבדלי גרסאות

 

ארטיניות קשורה באידאלים השמאליים של החוג. חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידאלים ימניים נקרא "ארטיני ימני", ומקיים תכונות דומות לשל חוגים ארטיניים. לתנאי השרשרת היורדת על אידאלים דו-צדדיים אין שם מיוחד (זוהי הנחה חלשה מאד, שקשה להסיק ממנה על מבנה החוג). ישנם מקורות שבהם חוג ארטיני (כפי שהוגדר כאן) נקרא "ארטיני שמאלי", וחוג שהוא גם ארטיני ימני וגם ארטיני שמאלי נקרא "חוג ארטיני". כמובן, בחוגים קומוטטיביים מונחים אלה מתלכדים.

 

כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. המשפט המרכזי על חוגים ארטיניים הוא [[משפט ודרברן-ארטין]], שלפיו כל חוג ארטיני [[חוג ראשוני|ראשוני]] הוא [[אלגברת מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק]]; ולכן זהו [[חוג פשוט]]. מכאן נובע שכל [[אידאל ראשוני]] של חוג ארטיני הוא אידאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש [[ממד קרול]] אפס).

חוגים פשוטים ארטיניים הם בעלי ממד סופי מעל המרכז שלהם, שהוא שדה. תכונה חשובה נוספת של חוגים ארטיניים היא ש[[רדיקל ג'ייקובסון]] של חוג כזה הוא [[אידאל נילפוטנטי|נילפוטנטי]]; מודולו הרדיקל, החוג הוא [[סכום ישר]] של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.

 

 

== תורת ההצגות ==