מספר הרטוגס – הבדלי גרסאות

הוסרו 18 בתים ,  לפני 8 שנים
מ
אין תקציר עריכה
מ (הוספת קישורים, הרחבה)
מ
ב[[מתמטיקה]], ובפרט, ב[[תורת הקבוצות האקסיומטית]], '''מספר הרטוגס''' הינוהוא סוג מסוים של [[מספר קרדינלי|מספר מונה]] (קרדינלי). פרידריך הרטוגס הוכיח ב-[[1915]] שניתן, באמצעות [[אקסיומות צרמלו-פרנקל]] בלבד (כלומר, ללא [[אקסיומת הבחירה]]) להראות כי לכל ''X'' קיים מונה [[סדר טוב|סדור היטב]] שאינו קטן יותר מעוצמה של ''X''.
 
אין זה הכרחי שקבוצה מסוימת תהיה סדורה היטב על מנת להגדיר את מספר הרטוגס שלה: אם ''X'' קבוצה כלשהי, אזי מספר הרטוגס של ''X'' היא ה[[מספר סודר|סודר]] המינימלי α כך שאין העתקה [[חד חד ערכית]] מ-α ל-''X''. אם לא ניתן להגדיר על ''X'' סדר טוב, לא נוכל לומר כי α הוא המונה הסדור היטב הקטן ביותר הגדול מעוצמת ''X'', אך α נשאר המונה הסדור היטב הקטן ביותר אשר אינו קטן מעוצמת ''X''. ההעתקה המעבירה את ''X'' ל-α נקראת לעתים '''פונקציית הרטוגס'''.
==הוכחה==
בהינתן מספר משפטים בסיסיים של תורת הקבוצות, ההוכחה פשוטה. יהי <math>\alpha = \{\beta \in \textrm{Ord}| \exists i: \beta \hookrightarrow X\}</math>.
תחילה, נראה כי α הינההיא קבוצה.
# ''X'' &times; ''X'' הינההיא קבוצה, בהסתמך על [[אקסיומת קבוצת החזקה]] ו[[אקסיומת ההפרדה]].
# קבוצת החזקה של ''X'' &times; ''X'' הינההיא קבוצה, בהסתמך על אקסיומת קבוצת החזקה.
# המחלקה ''W'' המכילה את כל הסידורים הטובים הרפלקסיביים של תתי קבוצות של ''X'' הינההיא תת-מחלקה מוגדרת של הקבוצה הנ"ל, על סמך אקסיומת ההפרדה.
# המחלקה של כל סודרי הערך של סידורים טובים של ''W'' היא קבוצה לפי [[אקסיומת ההחלפה]], היות שניתן להגדירה באמצעות נוסחא פשוטה.
 
אבל, הקבוצה האחרונה הינההיא בדיוק α.
 
כעת, היות ש[[קבוצה טרנזיטיבית]] של סודרים הינההיא סודר אף היא, α הינוהיא סודר. בנוסף, אם ישנו שיכון מ-α לתוך ''X'', אזי נקבל את הסתירה α שייך ל-α. נטען ש-α הינוהוא הסודר הקטן ביותר כך שאין שיכון ממנו אל ''X''.
אם β<α, אזי β שייך ל-α ולכן קיים שיכון של β ב-''X''.
 
47,121

עריכות