למת פודור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←הכללות: הוספת שימוש |
|||
שורה 26:
[[תומס יך ]] הכליל את מושג הקבוצה הסגורה ולא חסומה, ובהתאם את מושג קבוצת השבת, לתת קבוצות של <math>P_\kappa \lambda</math> (אוסף תתי הקבוצות של <math>\lambda</math> מעוצמה קטנה מ-<math>\kappa</math>). במקרה הזה, פונקציה דוחסת מוגדרת להיות פונקציה שהטווח שלה הוא <math>\lambda</math> והיא מקיימת <math>f(x) \in x</math> לכל x בתחום ההגדרה שלה. מתקבל כי אם פונקציה דוחסת f, מוגדרת על קבוצת שבת S, אז קיימת תת קבוצה של S שהיא שבת ועליה f קבועה.
== שימושים ==
ללמת פודור יש שימושים רבים בתורת הקבוצות ובתחומים הקרובים לה (כמו [[טופולוגיה קבוצתית]]). נדגים שימוש אופייני - נוכיח שניתן לפצל את <math>\omega_1</math> (הסודר הראשון שאינו בן מנייה) ל-<math>\aleph_1</math> קבוצות שבת זרות. זהו מקרה פרטי של משפט סולוביי.
נבחר לכל סודר גבולי <math>\alpha < \omega_1</math> סדרה מונוטונית עולה <math>f_n( \alpha)</math> ששואפת ל-<math>\alpha</math>. קודם כל, קיים n בו לכל <math>\eta</math> האוסף <math>S_{\eta}=\{\alpha|f_n(\alpha)>\eta\}</math> הוא שבת.
נגדיר <math>\eta_0 = 0</math>. הפונקציה <math>f_n</math> דוחסת, ולכן לפי למת פודור קיימת קבוצת שבת <math>T_0\subset S_{\eta_0}</math> כך שלכל <math>\beta \in T_0</math>, מתקיים <math>f_n(\beta)=\eta_1</math>. באותו אופן, קיימת <math>T_1 \subset S_{\eta_1}</math> שבת עם ערך קבוע של <math>f_n</math> שבהכרח יהיה גדול יותר מ-<math>\eta_0</math>.
נמשיך כך ב[[אינדוקציה טרנספיניטית]] לאורך <math>\omega_1</math> צעדים (כאשר בכל שלב אנחנו דואגים לכך ש-<math>\textstyle \eta_\beta \ge \sup_{\alpha < \beta} \eta_\alpha</math>) ונקבל את התוצאה הרצויה - <math>\{T_\beta |\beta <\omega_1\}</math> היא משפחה של <math>\aleph_1</math> קבוצות שבת זרות.
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
| |||