נגזרת (אלגברה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 11:
יהי A חוג, עם נגזרת <math>D : A \rightarrow A</math>. איבר שהנגזרת שלו היא אפס נקרא '''סקלר'''. הנגזרת מגדירה את '''חוג הסקלרים''' <math>K = \{ a \in A : D(a) = 0\}</math>, שהוא אכן תת-חוג עם יחידה של A (ואפילו סגור רציונלית: ההפכי של סקלר שהוא הפיך ב-A הוא בעצמו סקלר). התוצאה היא שאפשר לראות את A כאלגברה מעל חוג הסקלרים, והנגזרת מקיימת את החוק <math>\ D(\alpha x) = \alpha D(x)</math> לכל סקלר <math>\ \alpha</math>.
נניח, אם כן, ש-A אלגברה קומוטטיבית מעל שדה K. מסמנים ב-<math>\operatorname{Der}_K(A)</math> את האלגברה של הנגזרות של A שכל אברי K הם סקלרים שלהן. זהו מודול מעל A, לפי הפעולה <math>(a \delta)(x) = a \delta(x)</math>. '''חוג האופרטורים הדיפרנציאליים''' הוא תת-החוג <math>\ \Delta(A)</math> של <math>\ \operatorname{End}_K(A)</math> הנוצר על-ידי A ועל-ידי הנגזרות <math>
בניה זו מכלילה את הדוגמא החשובה של [[אלגברת וייל]], שהיא <math>\ A_n(K) = \operatorname{Der}_K(K[x_1,\dots,x_n])</math>.
| |||