הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

ביטול גרסה 14719900 של 84.94.164.164 (שיחה)
(ביטול גרסה 14719900 של 84.94.164.164 (שיחה))
לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן [[פעולת חבורה|לפעול]] על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה X מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה X לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של X מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך.
 
כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ההצמדה. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר x שולח את האיבר y לאיבר xy. בדרך זו הופך האיבר x ל[[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של [[משפט קיילי]]: כל חבורה היא תת-חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר x שולח את y ל- <math>\ xyx^{-1}</math>; פעולה זו מחלקת את החבורה G ל[[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] מן הצורה <math>\ \{xyx^{-1}: x\in G\}</math>, הקרויות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם [[אוטומורפיזם]] של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת [[הצגה (מתמטיקה)|הצגה]] של החבורה, כתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה [[אם ורק אם]] לחבורה יש [[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] טריוויאלי..
 
== ראו גם ==