גאומטריית חילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 5:
'''קדם-גאומטריה''' היא קבוצת אברים שלכל אחד מהם '''טיפוס''' מוגדר (כגון: "נקודות", "ישרים" ו"מישורים"), עם '''יחס חילה''' שהוא [[יחס רפלקסיבי]] ו[[יחס סימטרי|סימטרי]] המוגדר כך שעצמים שונים מאותו טיפוס אינם חלים זה בזה. קבוצה של עצמים החלים זה בזה נקראת '''דגל'''; לדוגמא, דגל עשוי להיות מורכב ממישור, ישר במישור ונקודה על הישר; או ממישור ונקודה עליו; וכדומה. דגל שיש בו נציג לכל טיפוס נקרא '''חדר''' (chamber). מספר הטיפוסים הוא ה'''דרגה''' של הקדם-גאומטריה. קדם-גאומטריה היא '''גאומטריה''' אם אפשר להשלים כל דגל לחדר. '''גאומטריה קבוצתית''' היא גאומטריה עם הטיפוסים <math>0, 1,\dots,d-1</math> (אברים מטיפוס 0 נקראים "נקודות"), שבה אברים A,a חלים זה בזה אם כל נקודה החלה ב-a חלה גם ב-A. בגאומטריה כזו אפשר לראות כל אובייקט כאילו הוא מורכב מקבוצת הנקודות החלות בו, וכך להמיר את יחס החילה ב[[הכלה (תורת הקבוצות)|הכלה]] בין הקבוצות.
==
המישור האפיני והמישור הפרוייקטיבי הם מן הדוגמאות הבסיסיות בגאומטריה. הגישה האקסיומטית של גאומטריית חילה מטפלת במקרים אלו באופן הבא. במקום לומר על נקודה וישר שהם "מקיימים את יחס החילה", אומרים שהנקודה '''נמצאת על''' הישר, והישר '''עובר דרך''' הנקודה.
גאומטריה עם הטיפוסים "נקודה" ו"ישר" נקראת '''מרחב לינארי''' אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. קבוצת נקודות במרחב לינארי היא '''תת-מרחב''' אם לכל שתי נקודות x,y בקבוצה, כל הנקודות על הישר xy נמצאות בה. חיתוך כל תת-המרחבים המכילים קבוצת נקודות
בגאומטריות מממד גבוה יותר אפשר לטפל על-ידי הוספת טיפוסים ("נקודה", "ישר" ו"מישור", וכן הלאה). אם מספקים בטיפוסים מממד נמוך (נקודה וישר), '''מרחב פרוייקטיבי''' מוגדר כמרחב לינארי המקיים את '''אקסיומת ובלן-יאנג''': אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. אם U הוא תת-מרחב של מרחב פרוייקטיבי שיש בו לפחות שני ישרים, אז U מרחב פרוייקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרוייקטיבי
בדומה להגדרות בא[[אלגברה לינארית]], המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר '''בסיס''' של מרחב פרוייקטיבי P כקבוצה S שהיא '''פורשת''' (כלומר S יוצרת את P) ו'''בלתי תלויה''' (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרוייקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את [[הלמה של צורן]]). הבסיסים של מרחב פרוייקטיבי P מקיימים את [[למת ההחלפה של שטייניץ]], וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל -- וזהו, על-פי ההגדרה, ה[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים <math>\operatorname{dim}(\langle U,U'\rangle) = \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(U')-\operatorname{dim}(U\cap U')</math>.
== מקורות ==
| |||