גאומטריית חילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 36:
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב לינארי לקבוצת הנקודות של מרחב לינארי נקראת '''קולינאציה''' אם לכל x,y,z על ישר אחד, גם התמונות נמצאות על ישר אחד. כל קולינאציה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת גם על הקבלה, על תת-מרחבים אפיניים, על בסיסים וממדים. מרחבים פרוייקטיביים או אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם '''איזומורפיים'''. קולינאציה בין מרחבים פרוייקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על-ידי הסרת על-מישור, ולהיפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרוייקטיביים שהם מגדירים.
קולינאציה a ממרחב פרוייקטיבי לעצמו היא '''מרכזית''' אם יש לה '''נקודת מרכז''' (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). תכונה זו שקולה לקיומו של '''ציר''' (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר. אוסף הקולינאציות <math>\ G(p,H)</math> עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. קולינאציה ב-<math>\ G(p,H)</math> נקבעת על-ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-<math>\ H \cup \{p\}</math>.
לדוגמא, אם F הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], אז [[חבורת הסימטריות]] של המישור הפרוייקטיבי <math>\ F\mathbb{P}^2</math> היא חבורת המטריצות <math>\ \operatorname{PGL}_3(F)</math>. כל קולינאציה מרכזית של המישור הפרוייקטיבי הזה צמודה לאחת המטריצות <math>\ (1) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)</math> או <math>\ (t) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)</math> (במקרה הראשון המרכז <math>\ Fe_1</math> שייך לציר <math>\ Fe_1+Fe_2</math>, ובשני המרכז <math>\ Fe_1</math> אינו שייך לציר <math>\ Fe_2+Fe_3</math>). חבורות הקולינאציה הן <math>\ (1) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & * \\ 0 & 1 \end{array}\right) \cong F^+</math> ו- <math>\ (*) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \cong F^*</math>, בהתאמה.
| |||