שדה (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הגדרה נוספת לשדה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
במתמטיקה, '''שדה''' הוא [[מבנה אלגברי]] חשוב. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם [[שדה המספרים הרציונליים]], [[שדה המספרים הממשיים]] [[שדה המספרים המרוכבים|ושדה המספרים המרוכבים]]. ל[[שדה סופי|שדות סופיים]] תפקיד חשוב ב[[קומבינטוריקה]], [[תורת הקודים]] ו[[הצפנה]].
== היסטוריה ==
שורה 5:
שדה הוא מבנה אלגברי שבו אפשר לבצע את [[ארבע פעולות החשבון]] המוכרות. את ההגדרה הכללית של המושג הציע [[היינריך מרטין ובר]] ב-[[1893]], בעקבות [[ריכרד דדקינד]] שב-[[1877]] קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) ה[[סגירות (אלגברה)|סגורה]] לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של [[הרחבת שדות]] (נוצרת סופית) השתמש [[אווריסט גלואה|גלואה]] כבר ב-[[1831]].
== הגדרה
שדה הוא [[מבנה אלגברי]] הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\
* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש הפכי;
* המבנה <math>\ (F\minusset\set{0}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות
▲# '''מתקיים [[חוק הפילוג]] (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור):''' כל <math>a, b, c</math> ב- <math>\ \mathbb {F}</math> מתקיים <math>a\cdot(b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)</math>.
▲מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות אחרות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל a' מייחדת את [[איבר האפס]], וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
== דוגמאות ===
לצד ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], השדה הוא מן המבנים האלגבריים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון [[שדה המספרים הרציונליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים]]; [[שדה מספרים|שדות אלגבריים]] הם המצע השכיח לדיון ב[[תורת המספרים האלגברית]]; ל[[שדה סופי|שדות סופיים]] יש חשיבות מכרעת בכל תחומי ה[[קומבינטוריקה]]; שדות של פונקציות מופיעים ב[[גאומטריה אלגברית]] ובאנליזה.
שורה 23 ⟵ 19:
השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון [[שדה סדור|סדר]] ו[[שדה סדור שלם|שלמות]]. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן [[שדה המספרים הממשיים]] ו[[שדה המספרים המרוכבים]].
ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד:
|