הבדלים בין גרסאות בדף "שדה (מבנה אלגברי)"

אין תקציר עריכה
(הגדרה נוספת לשדה)
במתמטיקה, '''שדה''' הוא [[מבנה אלגברי]] חשוב. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם [[שדה המספרים הרציונליים]], [[שדה המספרים הממשיים]] [[שדה המספרים המרוכבים|ושדה המספרים המרוכבים]]. ל[[שדה סופי|שדות סופיים]] תפקיד חשוב ב[[קומבינטוריקה]], [[תורת הקודים]] ו[[הצפנה]].
 
== היסטוריה ==
שדה הוא מבנה אלגברי שבו אפשר לבצע את [[ארבע פעולות החשבון]] המוכרות. את ההגדרה הכללית של המושג הציע [[היינריך מרטין ובר]] ב-[[1893]], בעקבות [[ריכרד דדקינד]] שב-[[1877]] קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) ה[[סגירות (אלגברה)|סגורה]] לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של [[הרחבת שדות]] (נוצרת סופית) השתמש [[אווריסט גלואה|גלואה]] כבר ב-[[1831]].
 
== הגדרה ודוגמאות ==
שדה הוא [[מבנה אלגברי]] הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ \mathbb {F}</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל" (המסומנות בדרך כלל ב- <math>+</math> ו-<math>\cdot</math>) ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1., המקיימות את התכונות הבאות:
* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש הפכי;
* המבנה <math>\ (F\minusset\set{0}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
#* '''מתקיים [[חוק הפילוג]] (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור):''' כללכל <math>a, b, c</math> ב- <math>\ \mathbb {F}</math> מתקיים <math>a\cdot(b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)</math>.
 
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות אחרות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל a' מייחדת את [[איבר האפס]], וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
הפעולות מקיימות את התכונות הבאות:
# '''הקבוצה <math>\ \mathbb {F}</math> [[סגירות (אלגברה)|סגורה]] ביחס לשתי הפעולות:''' לכל שני איברים <math>a, b</math> ב- <math>\ \mathbb {F}</math>, גם <math>a+b</math> ו-<math>a\cdot b</math> נמצאים ב-<math>\ \mathbb {F}</math>.
# '''שתי הפעולות [[חילופיות]]:''' לכל <math>a, b</math> ב- <math>\ \mathbb {F}</math> מתקיים <math>a+b = b+a</math> וגם <math>a\cdot b = b\cdot a</math>.
# '''שתי הפעולות [[פעולה אסוציאטיבית|קיבוציות]]:''' לכל <math>a, b, c</math> ב- <math>\ \mathbb {F}</math> מתקיים <math>a+(b+c) = (a+b)+c</math> ו-<math>(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b\cdot c)</math>.
# '''מתקיים [[חוק הפילוג]] (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור):''' כל <math>a, b, c</math> ב- <math>\ \mathbb {F}</math> מתקיים <math>a\cdot(b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)</math>.
# קיים [[איבר יחידה]] ביחס לכפל וחיבור ([[איבר יחידה|איבר היחידה]] החיבורי מכונה 0, ו[[איבר יחידה|איבר היחידה]] הכפלי מכונה 1).
# לכל איבר בקבוצה קיים [[איבר הופכי]] ביחס לשתי הפעולות, פרט לאיבר ה-0, לו אין הופכי כפלי.
 
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות אחרות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל a' מייחדת את [[איבר האפס]], וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
 
== דוגמאות ===
לצד ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], השדה הוא מן המבנים האלגבריים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון [[שדה המספרים הרציונליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים]]; [[שדה מספרים|שדות אלגבריים]] הם המצע השכיח לדיון ב[[תורת המספרים האלגברית]]; ל[[שדה סופי|שדות סופיים]] יש חשיבות מכרעת בכל תחומי ה[[קומבינטוריקה]]; שדות של פונקציות מופיעים ב[[גאומטריה אלגברית]] ובאנליזה.
 
 
השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון [[שדה סדור|סדר]] ו[[שדה סדור שלם|שלמות]]. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן [[שדה המספרים הממשיים]] ו[[שדה המספרים המרוכבים]].
 
ניתן גם להגדיר את השדה כ[[חבורה אבלית]] ביחס ל[[חיבור]],וחבורה אבלית ביחס ל[[כפל]] (לאחר שמוציאים ממנה את [[איבר האפס]]) שמקיימת את [[חוק הפילוג]].
 
ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד: