סכום של שני ריבועים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q914517 |
|||
שורה 16:
== הוכחה באמצעות נסיגה ==
יהי p מספר ראשוני השקול ל- 1 מודולו 4. ידוע ש- 1- הוא [[שארית ריבועית]] מודולו p, כלומר, קיים x כך ש- <math>\ x^2+1\equiv 0 \pmod{p}</math>. אם
מנוסחת המכפלה יוצא ש- <math>\ m^2m_1p = (mp)(mm_1) = (x^2+y^2)(x_1^2+y_1^2)=(xx_1+yy_1)^2+(xy_1-x_1y)^2</math>, אבל שני הגורמים <math>\ xx_1+yy_1,\, xy_1-x_1y</math> מתחלקים ב- m. לאחר שמחלקים את המשוואה ב- <math>\ m^2</math> מתקבלת הצגה של <math>\ m_1p</math>
'''דוגמא'''. נציג את p=89 כסכום של שני ריבועים. פתרון המשוואה <math>\ x^2+1 \equiv 0 \pmod{p}</math> הוא <math>\ x=\pm 34</math>, ואכן <math>\ 34^2+1 = 13 \cdot 89</math>, כלומר <math>\ m = 13</math>. ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא <math>\ 34^2+1^2 = 13 \cdot 89</math>. נחלק את x=34 ו-y=1 ב-m=13, ונקבל <math>\ 34 = 3 \cdot 13 + (-5)</math> ו-<math>\ 1 = 0 \cdot 13 + 1</math>, כלומר <math>\ x_1 = -5, y_1 = 1</math>. אכן, <math>\ (-5)^2+1^2 = 2\cdot 13</math>, כלומר <math>\ m_1 = 2</math>. מנוסחת המכפלה יוצא <math>\ (13\cdot 89) \cdot (2 \cdot 13) = (34^1+1^2)((-5)^2+1^2) = (-169)^2+(39)^2</math>, וכשמחלקים ב-<math>\ 13^2</math> מקבלים את ההצגה <math>\ 13^2 + 3^2 = 2 \cdot 89</math>. נחזור לתחילת התהליך, והפעם עם m=2. ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא <math>\ 13^2+3^2 = 2\cdot 89</math>. נחלק את x=13 ו-y=3 ב-m=2, ונקבל <math>\ 13 = 6 \cdot 2 + 1</math> ו-<math>\ 3 = 1 \cdot 2 + 1</math>, כלומר <math>\ x_1 = y_1 = 1</math>. אכן, <math>\ 1^2+1^2 = 1\cdot 2</math>, כלומר <math>\ m_1 = 1</math>. מנוסחת המכפלה יוצא <math>\ (2\cdot 89) \cdot (1 \cdot 2) = (13^1+3^2)(1^2+1^2) = (16)^2+(10)^2</math>, וכשמחלקים ב-<math>\ 2^2</math> מקבלים את ההצגה <math>\ 8^2 + 5^2 = 89</math>.
== ראו גם ==
| |||