תנועה בראונית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקון קישור |
תיקון קישור לפירושונים |
||
שורה 22:
באותה תקופה, טבעו האטומי של החומר היה עדיין רעיון שנוי במחלוקת. איינשטיין וסמולוצ'ובסקי הבחינו כי אם התאוריה הקינטית של הנוזלים היא נכונה, אזי מולקולות המים ינועו באקראי. לכן, חלקיק קטן יקבל מספר אקראי של פגיעות בכוח אקראי בכל פרק זמן קצר. הפצצה אקראית זו על ידי מולקולות הנוזל, יגרמו לחלקיק קטן מספיק לנוע בדיוק באופן שתואר על ידי בראון. תיאודור סוודברג ביצע הדגמות חשובות של תנועה בראונית ב[[קולואיד]]ים, ופליקס ארנהאפט – של חלקיקי [[כסף (יסוד)|כסף]] באוויר.
ב-[[1926]] זכה [[ז'אן בפטיסט פרין]] {{אנ|Jean Baptiste Perrin}}
בתחילת שנות השבעים
== הגדרה מתמטית ==
מבחינה מתמטית, תנועה בראונית (חד-ממדית) היא [[תהליך סטוכסטי]] <math>\ B_t</math> רציף (כלומר, הפונקציה <math>\ t \mapsto B_t</math> רציפה), שיש לו הוספות בלתי תלויות (כלומר, אם <math>\ t_1<t_2<\cdots<t_n</math> אז <math>\ B_{t_n}-B_{t_{n-1}}, B_{t_{n-1}}-B_{t_{n-2}},\dots,B_2-B_1</math> [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]]), וכך שלכל <math>\ t>s</math>, <math>\ X_t-X_s \sim N(0,t-s)</math>. בפרט, זהו [[מרטינגל (תורת ההסתברות)|מרטינגל]].
תנועה בראונית אפשר לכייל: אם <math>\ B_t</math> תנועה בראונית, אז לכל a חיובי גם <math>\ B'_t = a^{-1/2}B_{at}</math> היא תנועה בראונית. מתברר שגם התהליך המתאים ל-t את <math>\ B_t^2 - t</math> הוא מרטינגל. '''הקריטריון של לוי''' קובע שמרטינגל רציף עם שונויות סופיות הוא תנועה בראונית, אם ורק אם <math>\ B_t^2 - t</math> הוא מרטינגל. המתמטיקאי הישראלי [[אריה דבורצקי]] הוכיח שתנועה בראונית חד-ממדית מקבלת כל ערך מספר שאינו בן-מניה של פעמים; שתנועה בראונית דו-ממדית היא [[קבוצה צפופה|צפופה]]; בעוד שתנועה בראונית במימד גבוה יותר אינה צפופה.
| |||