טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 11:
ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> היא כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת הסכומים החלקיים <math>\ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k</math>, בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות <math>\mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math>, שהוא [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]], ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. אופרטור הסיכום הוא [[פונקציונל לינארי]] <math>\ \Sigma : V \rightarrow \mathbb{R}</math> המחזיר על הסדרה <math>\ (a_1,a_2,\dots)</math> את הסכום שלה, <math>\ \Sigma(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>. אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת ה[[סומביליות]] ([[שיטות סיכום]]).{{הערה|למשל, [[משפט האן-בנך]] מבטיח שאפשר להרחיב את פונקציונל הסכום אל מרחב הסדרות שסדרת הסכומים החלקיים שלהם חסומה.}}
לדוגמה, '''שיטת הסיכום של [[נילס הנריק אבל|אבל]]''' מוגדרת באופן הבא: <math>\ \Sigma'(a_1,a_2,\dots) = \lim_{x \rightarrow 1^-}\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n</math>, גם כאן בתנאי שהגבול קיים. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) ניתן לסיכום גם לפי אבל, אבל יש גם טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל, שאפשר לסכם אותם בשיטת אבל. לדוגמה, השוויון <math>\ x-2x^2+3x^3-4x^4+5x^5-\cdots = \frac{x}{(x+1)^2}</math> נכון לכל <math>\ |x|<1</math>{{הערה|כידוע הטור <math>\ 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots = \frac{1}{1+x}</math> [[התכנסות בהחלט|מתכנס בהחלט]] בתחום הזה, ולכן אפשר לגזור אותו רכיב רכיב ולקבל את השוויון <math>\ 1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}</math>.}}
, וה[[גבול של פונקציה|גבול]] כאשר x שואף ל-1 מלמטה גם הוא קיים, ושווה ל-<math>\ \frac{1}{4}</math>, על-ידי הצבת x=1 בפונקציה מימין. לפיכך, אפשר לומר שלפי אבל <math>\ 1-2+3-4+5-\cdots = \frac{1}{4}</math>, למרות שהגבול אינו קיים במובן הרגיל. באופן הזה, שיטת הסיכום של אבל מגדירה פונקציונל <math>\ \Sigma' : V' \rightarrow \mathbb{R}</math>, כאשר 'V הוא המרחב הווקטורי של כל הסדרות המתכנסות לפי אבל (המכיל את המרחב הווקטורי V של הסדרות המתכנסות במובן הרגיל, וגם סדרות נוספות כמו <math>\ (1,-2,3,-4,5,\cdots)</math>).
| |||