חוג מקומי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 17:
== חוגים מקומיים נתריים ==
ישנם מקורות (ובפרט בכתבי [[בורבקי]]) שבהם המושג "חוג מקומי" מתייחס לחוג שהוא מקומי ו[[חוג נתרי|נתרי]] (ואז חוג מקומי סתם נקרא "קוואזי-מקומי"). אכן, החוגים המקומיים המופיעים ב[[גאומטריה אלגברית]] הם כמעט תמיד נתריים. לחוגים מקומיים נתריים יש כמה תכונות חשובות: [[וולפגנג קרול]], שהיה הראשון שחקר חוגים מקומיים, הוכיח (ב-1938) ש- <math>\ \cap M^i = 0</math>, כאשר M הוא האידאל המקסימלי היחיד. לחוגים מקומיים נותריים יש [[ממד קרול]] סופי, נאמר n, ואז יש אברים <math>\ x_1,\dots,x_n</math> בחוג כך שה[[רדיקל של אידאל|רדיקל]] של <math>\ \sum R x_i</math> הוא האידאל המקסימלי, M. '''משפט המבנה של כהן''' (1946) מתאר חוגים מקומיים נתריים שלמים: כל חוג מקומי נתרי שלם (המכיל שדה) הוא חוג מנה של <math>\ k[[x_1,\dots,x_n]]</math>.
חוג מקומי נתרי הוא '''[[חוג מקומי רגולרי|רגולרי]]''', אם אפשר ליצור באמצעות <math>\ n = \operatorname{Kdim}(R)</math> יוצרים את האידאל המקסימלי עצמו. תכונה זו שקולה לכך שהממד של <math>\ M/M^2</math> (כ[[מרחב וקטורי]] מעל שדה השאריות <math>\ k=R/M</math>) שווה ל-n; וגם לכך ש[[חוג מדורג|החוג המדורג]] <math>\ \bigoplus_{i=0}^{\infty} M^i/M^{i+1}</math> איזומורפי לחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל k.
| |||