תבנית קילינג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קטגוריה:חבורות לי באמצעות HotCat |
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) עריכה |
||
שורה 11:
* תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-<math>k([x,y],z)=k(x,[y,z])</math>.
* ה[[
* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של '''L''', כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם '''g''' של '''L'''.
שורה 17:
== הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה ==
בעזרת תבנית קילינג
'''משפט:''' תהי אלגברת לי '''L''' מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז '''L''' היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית בילינארית|רגולרית]].
שורה 23:
'''הוכחה:''' נניח ש'''L''' פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>Rad(k)</math> אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in Rad(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [Rad(k),Rad(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>Rad(k)</math> פתיר.
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-'''k''' רגולרית, כלומר <math>Rad(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של '''L''' פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]] אבלי (אידאל '''I''' המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[הסדרה הנגזרת|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
אם כן יהי '''I''' אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>ad(x)ad(y):L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(ad(x)ad(y))}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>ad(x)ad(y)</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. כלומר <math>I \subseteq
| |||