תבנית קילינג – הבדלי גרסאות

עריכה
מ (הוספת קטגוריה:חבורות לי באמצעות HotCat)
(עריכה)
* תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-<math>k([x,y],z)=k(x,[y,z])</math>.
 
* ה[[רדיקלתבנית (תבניות ריבועיות)בילינארית| רדיקל]] <math>Rad(k)</math> של תבנית קילינג הוא [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]].
 
* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של '''L''', כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם '''g''' של '''L'''.
== הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה ==
 
בעזרת תבנית קילינג מהווהאפשר לנסח [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותלהיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]:
 
'''משפט:''' תהי אלגברת לי '''L''' מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז '''L''' היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית בילינארית|רגולרית]].
'''הוכחה:''' נניח ש'''L''' פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>Rad(k)</math> אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in Rad(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [Rad(k),Rad(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>Rad(k)</math> פתיר.
 
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-'''k''' רגולרית, כלומר <math>Rad(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של '''L''' פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]] אבלי (אידאל '''I''' המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[הסדרה הנגזרת|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
 
אם כן יהי '''I''' אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>ad(x)ad(y):L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(ad(x)ad(y))}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>ad(x)ad(y)</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(ad(x)ad(y))=0</math>. כלומר <math>I \subseteq